单调收敛定理

2024-07-13 23:36| 来源: 网络整理| 查看: 265

这个定理是前一个定理的推广，也许就是最重要的单调收敛定理。

定理

设( X, A, μ {\displaystyle \mu } )为一个测度空间。若序列 f 1 , f 2 , … {\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots } 为定义域是 X {\displaystyle X} ，对应域是 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} 的 μ {\displaystyle \mu } -可测单调递增函数序列。也就是说 ∀ x ∈ X , k ∈ N {\displaystyle \forall x\in X,\,k\in \mathbb {N} } ，有

0 ≤ f k ( x ) ≤ f k + 1 ( x ) {\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)} 。

接着，设序列 { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} 的逐点极限为 f {\displaystyle f} 。也就是说 ∀ x ∈ X , {\displaystyle \forall x\in X,}

f ( x ) := lim k → ∞ f k ( x ) {\displaystyle f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)} 。

则 f {\displaystyle f} 会是 μ {\displaystyle \mu } -可测函数，且：

lim k → ∞ ∫ X f k d μ = ∫ X f d μ {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu } 。（参见[2]第21.38节）

注意其积分值不一定是有限值，也就是左右两边可能都是无限大。

证明

我们首先证明f是 μ {\displaystyle \mu } -可测函数。为此，只需证明区间[0,t]在f下的原像是X上的σ代数A的一个元素。设I为 [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} 的一个子区间。那么：

f − 1 ( I ) = { x ∈ X | f ( x ) ∈ I } {\displaystyle f^{-1}(I)=\{x\in X|f(x)\in I\}} 。

另一方面，由于[0,t]是闭区间，因此：

f ( x ) ∈ I ⇔ f k ( x ) ∈ I , ∀ k ∈ N {\displaystyle f(x)\in I\Leftrightarrow f_{k}(x)\in I,~\forall k\in \mathbb {N} } 。

所以：

{ x ∈ X | f ( x ) ∈ I } = ⋂ k ∈ N { x ∈ X | f k ( x ) ∈ I } {\displaystyle \{x\in X|f(x)\in I\}=\bigcap _{k\in \mathbb {N} }\{x\in X|f_{k}(x)\in I\}} 。

注意可数交集中的每一个集合都是A的一个元素，这是因为它是一个波莱尔子集在 μ {\displaystyle \mu } -可测函数 f k {\displaystyle f_{k}} 下的原像。由于根据定义，σ代数在可数交集下封闭，因此这便证明了f是 μ {\displaystyle \mu } -可测的。需要注意的是，一般来说，任何可测函数的最小上界也是可测的。

现在我们证明单调收敛定理的余下的部分。f是 μ {\displaystyle \mu } -可测的事实，意味着表达式 ∫ f d μ {\displaystyle \int fd\mu } 是定义良好的。

我们从证明 ∫ f d μ ≥ lim k ∫ f k d μ {\displaystyle \int fd\mu \geq \lim _{k}\int f_{k}d\mu } 开始。

根据勒贝格积分的定义，

∫ f d μ = s u p { ∫ g d μ | g ∈ S F , g ≤ f } {\displaystyle \int fd\mu =sup\{\int gd\mu |g\in SF,g\leq f\}} ，

其中SF是X上的 μ {\displaystyle \mu } -可测简单函数的交集。由于在每一个 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，都有 f k ( x ) ≤ f ( x ) {\displaystyle f_{k}(x)\leq f(x)} ，我们便有：

{ ∫ g d μ | g ∈ S F , g ≤ f k } ⊆ { ∫ g d μ | g ∈ S F , g ≤ f } . {\displaystyle \left\{\int gd\mu |g\in SF,g\leq f_{k}\right\}\subseteq \left\{\int gd\mu |g\in SF,g\leq f\right\}.}

因此，由于一个子集的最小上界不能大于整个集合的最小上界，我们便有： ∫ f d μ ≥ lim k ∫ f k d μ . {\displaystyle \int fd\mu \geq \lim _{k}\int f_{k}d\mu .}

右面的极限存在，因为序列是单调的。

我们现在证明另一个方向的不等式（也可从法图引理推出），也就是说，我们来证明：

∫ f d μ ≤ lim k ∫ f k d μ . {\displaystyle \int fd\mu \leq \lim _{k}\int f_{k}d\mu .}

从积分的定义可以推出，存在一个非负简单函数的非递减序列gn，它几乎处处逐点收敛于f，且：

lim k ∫ g k d μ = ∫ f d μ . {\displaystyle \lim _{k}\int g_{k}d\mu =\int fd\mu .}

只需证明对于每一个 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } ，都有：

∫ g k d μ ≤ lim j ∫ f j d μ {\displaystyle \int g_{k}d\mu \leq \lim _{j}\int f_{j}d\mu }

这是因为如果这对每一个k都成立，那么等式左端的极限也将小于或等于等式右端。

我们证明如果gk是简单函数，且

lim j f j ( x ) ≥ g k ( x ) {\displaystyle \lim _{j}f_{j}(x)\geq g_{k}(x)}

几乎处处，则：

lim j ∫ f j d μ ≥ ∫ g k d μ . {\displaystyle \lim _{j}\int f_{j}d\mu \geq \int g_{k}d\mu .}

由于积分是线性的，我们可以把函数 g k {\displaystyle g_{k}} 分拆成它的常数部分，化为 g k {\displaystyle g_{k}} 是σ代数A的一个元素B的指示函数的情况。在这种情况下，我们假设 f j {\displaystyle f_{j}} 是一个可测函数的序列，它在B的每一个点的最小上界都大于或等于一。

为了证明这个结果，固定 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，并定义可测集合的序列：

B n = { x ∈ B : f n ( x ) ≥ 1 − ϵ } . {\displaystyle B_{n}=\{x\in B:f_{n}(x)\geq 1-\epsilon \}.}

根据积分的单调性，可以推出对于任何的 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，都有：

μ ( B n ) ( 1 − ϵ ) = ∫ ( 1 − ϵ ) 1 B n d μ ≤ ∫ f n d μ {\displaystyle \mu (B_{n})(1-\epsilon )=\int (1-\epsilon )1_{B_{n}}d\mu \leq \int f_{n}d\mu }

根据 lim j f j ( x ) ≥ g k ( x ) {\displaystyle \lim _{j}f_{j}(x)\geq g_{k}(x)} 的假设，对于足够大的n，任何B内的x都将位于 B n {\displaystyle B_{n}} 内，因此：

⋃ n B n = B {\displaystyle \bigcup _{n}B_{n}=B} 。

所以，我们有：

∫ g k d μ = ∫ 1 B d μ = μ ( B ) = μ ( ⋃ n B n ) . {\displaystyle \int g_{k}d\mu =\int 1_{B}d\mu =\mu (B)=\mu (\bigcup _{n}B_{n}).}

利用测度的单调性，可得：

μ ( ⋃ n B n ) = lim n μ ( B n ) ≤ lim n ( 1 − ϵ ) − 1 ∫ f n d μ {\displaystyle \mu (\bigcup _{n}B_{n})=\lim _{n}\mu (B_{n})\leq \lim _{n}(1-\epsilon )^{-1}\int f_{n}d\mu }

取 k → ∞ {\displaystyle k\rightarrow \infty } ，并利用这对任何正数 ϵ {\displaystyle \epsilon } 都正确的事实，定理便得证。

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