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本文用4000字15个维度全方位讲透泰勒公式,让你成为高手。都说泰勒公式为一元微分学的顶峰!本文让你与牛顿的学生泰勒相遇。 具体从以下15个方面展开阐述,让你一文读懂(文章较长,都是干货,建议收藏起来反复阅读): 数学家泰勒简介泰勒定理的奇闻轶事泰勒展开定理简介泰勒级数展开式的直观解释带皮亚诺余项的一阶泰勒展开带拉格朗日余项的零阶泰勒展开——拉格朗日中值定理的证明(直观解释辅助函数的几何意义)拉格朗日中值定理的推广——柯栖中值定理的证明(直观解释辅助函数的几何意义)分别用罗必达法则和柯栖中值定理证明带皮亚诺余项的回顾以往笔者写过的洛必达法则——可戳相关链接 数学达人上官正申:一文讲透洛必达法则1.数学家泰勒简介18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒(Brook Taylor), 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦,获法学硕士学位。 ![]() 他在 1712年当选为英国皇家学会会员,并于两年后获法学博士学位。同年(即1714年)出任英国皇家学会秘书,四年后因健康理由辞退职务。1717年,他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在1731年12月29日于伦敦逝世。 泰勒也具有相当的音乐与艺术才华。他为了探求音律之谜,首开其端用微积分来研究弦振动问题(1713年),约一个世纪之后,傅立叶(Fourier)分析出现才达于高潮(1807年)。泰勒也研究投影画法的几何学,其美术作品至今仍然被珍藏于伦敦的国家画廊(the National Gallery)之中。 2.泰勒定理的奇闻轶事泰勒展式 (Taylor expansion) 的剩余项救人一命!你知道吗? 在俄国革命期间(1917年左右),数学物理学家塔姆 (Igor Tamm) 外出找食物,在靠近敖德萨 (Odessa) 的乡间被反共产主义的保安人员逮捕。保安人员怀疑他是反乌克兰的共产主义者,于是把他带回总部。 头目问:你是做什么的?塔姆:我是一位数学家。头目心存怀疑,拿着枪,手指扣着扳机,对准他。手榴弹也在他的面前晃动。 头目说:好吧,那么一个函数作泰勒展开到第 n 项之后,你就把误差项算出来。如果你算对了,就放你一条生路,否则就立刻枪毙。于是塔姆手指发抖,战战兢兢地慢慢计算,当他完成时,头目看过答案,挥手叫他赶快离开。塔姆在1958年获得诺贝尔物理奖,但是他从未再遇到或认出这位非凡的头目...... 3.泰勒展开定理简介泰勒展开定理就是要利用微分工具,来剖析函数的结构。 在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值,这个邻域甚至可以延伸到级数的收敛半径(见下文)。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 4.泰勒级数展开的直观解释泰勒展开的就是在函数一个特定的点附近用多项式函数去逼近原函数,并且在该点处这个多项式的若干阶导数与原函数保持相等,具体多少阶取决于泰勒展开的阶数。也就是说,一阶导数决定了函数的变化趋势,二阶导数决定了一阶导数的变化趋势, 我们知道对于一元函数
即当
其中其中 ![]() 另一方面我们由拉格朗日中值定理,可知,当
其中 ![]() 拉格朗日中值定理 其实拉格朗日中值定理几何上很直观,就是必然存在与图中平行于倾斜虚线的直线与原函数相切。其实我们如果构造一个新函数将图中倾斜的直线拉平,那我们就直接可以用罗尔定理得到拉格朗日中值定理。我们只需证明在
拉格朗日中值定理的证明 构造辅助函数将虚线拉平
则此函数满足
则根据罗尔定理,必然存在
这样我们便证明了拉格朗日中值定理。 7.拉格朗日中值定理的推广——柯栖中值定理的证明(直观解释辅助函数的几何意义)为了给下文的高阶泰勒展开作铺垫,我们再来证明一下柯栖中值定理。其实这个定理是拉格朗日中值定理的推广。即对于
柯栖中值定理的证明 柯栖中值定理的证明与拉格朗日中值定理的证明类似,如图所示,我们可以把 ![]() 但是需要注意,
则此函数满足
根据罗尔定理,必然存在
这样我们便证明了柯栖中值定理。 8.分别用罗必达法则和柯栖中值定理证明带皮亚诺余项的假定
其中 方法一:用洛必达法则进行证明
其中最后一步是因为
方法二:用柯栖中值定理进行证明 令
因为
所以
因此我们可以不断地利用柯栖中值定理
其中最后一步是因为
假定
其中 注:带拉格朗日余项的泰勒展开我们不能直接用洛必达法则,因为我们没有要求 方法一:用柯栖中值定理进行证明 令
因为
因此我们可以不断地利用柯栖中值定理
其中 方法二:将
则
因此
其中 泰勒展开的二阶近似如下图中的绿色曲线所示。一阶近似相当于用直线,二阶近似相当于考虑了二阶导数,变成了曲线。还可以有三阶、四阶、更高阶近似。 ![]() 当我们研究的函数
现在我们来考虑一下等式右端的级数在
根据等比数列的理论我们知道无穷等比数列的公比绝对值小于
这里
就是
求得收敛半径。 在收敛半径内,级数一定收敛。但是在收敛半径上,级数可能收敛,也可能不收敛。例如以下函数在
在
在 通过以上对泰勒展开公式的学习,我们知道在
由于
因此泰勒级数收敛到原函数。 13.泰勒展开的应用举例泰勒展开的应用在各种科学领域无处不在。 例1 相对论物理中的运动学公式在光速趋于无穷大时或我们的速度远小于光速的一阶近似可以退化到经典力学,以质能方程的一阶泰勒展开为例,质能方程的四速度在四维时空中的模长是一个四维时空中的不变量,其时间维度的分量
其中第二步用到了当
第一项只与物质的静态质量有关,是质能方程;第二项正是经典力学中的动能项。 例2 对自然底数
由于它的收敛半径为无穷大,因此我们可令
因此我们可以取足够多的项得到任意精度的 例3 我们通过
我们容易得到它的收敛半径
因此我们可以取足够多的项得到任意精度的 如果我们掌握复变函数论知识或者自悟出了复变函数论思想,收敛半径问题会变得更加自然直观。限于篇幅,我们在这里不作严格证明,读者可以去学习复变函数论知识或者持续关注本人的知乎专栏“数学妙谈”,以后有时间本人也会继续采用简洁、严谨、出神入化之风继续写相关的文章,下面将定理陈述如下。 洛朗级数展开定理 如果复数域上的函数
其中
积分路径 结论 根据洛朗级数展开定理,我们立即知道,泰勒展开不过是洛朗展开的特殊形式。而且我们也会知道,如果 这说明如果我们在实数范围内跨越了泰勒级数的收敛半径,则在复数平面内必然跨越了奇点。例如
收敛半径为 泰勒展开能研究的仅仅是复变函数中的解析函数,也就是说跨越奇点,展开式会失效,收敛圆的边界上必然存在奇点。如果将我们的人生类比成函数,我们的人生并不是解析的。 假如我们的人生是解析的,那我们足可以通过短时间内发生的一切推断出整个人生的所有细节,在瞬间了知人世间种种酸甜苦辣、爱恨悲欢。 但是事实并非如此,事实上我们的人生总是充满各种意外。正所谓“昨日黄土陇头送白骨,今宵红灯帐底卧鸳鸯”。或许也正是因为人生中充满奇点,才使我们的人生充满激情与活力,变得更加有意义。 梁启超曾经说过:“变者,天下之公理也。”天下唯一不变的就是变化。因此我们不要畏惧变化,而是要从容地应对变化,甚至制造变化以光显世界、利益苍生。 |
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