数学分析

Eg 1：证明：收敛数列极限唯一 对于数列 { a n } \{a_n\} {an​}，若存在两个极限： lim ⁡ n → ∞ a n = a ， lim ⁡ n → ∞ a n = b \underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=a，\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=b n→∞lim​an​=a，n→∞lim​an​=b证明 a = b a=b a=b即可 ∀ ε > 0 , ∃ N 1 , 当 n > N 1 时： ∣ a n − a ∣ < ε 2 \forall \varepsilon >0,\exists N_1, \text{当}n>N_1\text{时：}\left| a_n-a \right|0,∃N1​,当n>N1​时：∣an​−a∣ 0 , ∃ N 2 , 当 n > N 2 时： ∣ a n − b ∣ < ε 2 \forall \varepsilon >0,\exists N_2, \text{当}n>N_2\text{时：}\left| a_n-b \right|0,∃N2​,当n>N2​时：∣an​−b∣an​}有界。证毕。

Eg 3：设 lim ⁡ n → ∞ a n = a \underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=a n→∞lim​an​=a，那么 { a n } \{a_n\} {an​}的任意子数列必以 a a a为极限 设 { a n } \{a_n\} {an​}的一个子数列为 b n = a k n b_n=a_{k_n} bn​=akn​​，其中必满足 k n ⩾ n k_n\geqslant n kn​⩾n. 已知： ∀ ε > 0 , ∃ N , 当 n > N 时， ∣ a n − a ∣ < ε \forall \varepsilon >0,\exists N, \text{当}n>N\text{时，}\left| a_n-a \right|0,∃N,当n>N时，∣an​−a∣ N \because k_n\geqslant n>N ∵kn​⩾n>N ∴ ∣ a k n − a ∣ < ε \therefore \left| a_{k_n}-a \right|