级数

设u1，u2 ⋯ \cdots ⋯un ⋯ \cdots ⋯是一个数列，则 ∑ n = 1 ∞ \sum_{n=1}^\infty ∑n=1∞​un称为级数。un为级数的通项（一般项）Sn = ∑ n = 1 n \sum_{n=1}^n ∑n=1n​uk 为级数的前n项部分和。

若有 lim ⁡ n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞lim​Sn = S，则称级数收敛，S为级数的和，即 ∑ n = 1 ∞ \sum_{n=1}^\infty ∑n=1∞​un = S，反之，称级数发散。

若级数收敛，则rn = ∑ k = n + 1 ∞ \sum_{k=n+1}^\infty ∑k=n+1∞​uk = S - Sn 为级数余和，且 lim ⁡ n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞lim​rn = 0。

若级数 ∑ n = 1 ∞ \sum_{n=1}^\infty ∑n=1∞​un 收敛，则 lim ⁡ n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞lim​un = 0（一般项是无穷小）。

逆否命题： lim ⁡ n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞lim​un ≠ \ne ​= 0 或不存在 ⇒ \Rightarrow ⇒ 级数发散。

注： lim ⁡ n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞lim​un = 0不一定能导出级数收敛（必要条件）。

例： ∑ n = 1 ∞ 1 n \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} ∑n=1∞​n1​

解：

Sn = 1 + 1 2 \frac{1}{2} 21​ + 1 3 \frac{1}{3} 31​ + 1 4 \frac{1}{4} 41​ + ⋯ \cdots ⋯ + 1 n \frac{1}{n} n1​

un = 1 n \frac{1}{n} n1​ ⇒ \Rightarrow ⇒ lim ⁡ n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞lim​un = 0

故

S2^k = 1 + 1 2 \frac{1}{2} 21​ + 1 3 \frac{1}{3} 31​ + 1 4 \frac{1}{4} 41​ + 1 5 \frac{1}{5} 51​ + ⋯ \cdots ⋯ + 1 8 \frac{1}{8} 81​ + 1 9 \frac{1}{9} 91​ + ⋯ \cdots ⋯ + 1 16 \frac{1}{16} 161​ + 1 2 k − 1 \frac{1}{2^{k-1}} 2k−11​ + 1 2 k − 1 + 1 \frac{1}{2^{k-1}+1} 2k−1+11​ + ⋯ \cdots ⋯ + 1 2 k \frac{1}{2^k} 2k1​ (S2^k是Sn的一个子列)

将 1 3 \frac{1}{3} 31​ 和 1 4 \frac{1}{4} 41​ 组合， 1 5 \frac{1}{5} 51​ 到 1 8 \frac{1}{8} 81​ 组合， 1 9 \frac{1}{9} 91​ 到 1 16 \frac{1}{16} 161​ 组合 ⋯ \cdots ⋯ 1 2 k − 1 + 1 \frac{1}{2^{k-1}+1} 2k−1+11​ 到 1 2 k \frac{1}{2^k} 2k1​ 组合。（性质3）

将 1 3 \frac{1}{3} 31​ 缩小成 1 4 \frac{1}{4} 41​ ， 1 5 \frac{1}{5} 51​、 1 6 \frac{1}{6} 61​、 1 7 \frac{1}{7} 71​ 缩小成 1 8 \frac{1}{8} 81​，以此类推。（方法3）

故

S2^k > \gt > 1 + 1 2 \frac{1}{2} 21​ + ( 1 4 \frac{1}{4} 41​ + 1 4 \frac{1}{4} 41​) + ( 1 8 \frac{1}{8} 81​ + ⋯ \cdots ⋯ + 1 8 \frac{1}{8} 81​) + ( 1 16 \frac{1}{16} 161​ + ⋯ \cdots ⋯ + 1 16 \frac{1}{16} 161​) + ⋯ \cdots ⋯ + ( 1 2 k \frac{1}{2^{k}} 2k1​ + ⋯ \cdots ⋯ + 1 2 k \frac{1}{2^k} 2k1​) = 1 + 1 2 \frac{1}{2} 21​ + 1 2 \frac{1}{2} 21​ + ⋯ \cdots ⋯ + 1 2 \frac{1}{2} 21​ = 1 + k 2 \frac{k}{2} 2k​ → \rightarrow → + ∞ \infty ∞

故

S2^k → \rightarrow → + ∞ \infty ∞ ⇒ \Rightarrow ⇒ lim ⁡ n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞lim​Sn 不存在。（发散）

需记忆级数（后用于级数收敛性比较）：

∑ n = 1 ∞ 1 n p \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p} ∑n=1∞​np1​             ∑ n = 1 ∞ a q n \sum_{n=1}^\infty aq^n ∑n=1∞​aqn

补充性质： 一收敛级数与发散级数相加必为发散。

若两发散级数相加则不一定发散。

收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。

（补充性质3）例：

( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + (1-1)+(1-1)+ (1−1)+(1−1)+ ⋯ \cdots ⋯ = 0 =0 =0 收敛，但 1 − 1 + 1 − 1 + 1-1+1-1+ 1−1+1−1+ ⋯ \cdots ⋯ 发散。