深入理解傅里叶变换

Mar 12, 2017

这原本是我在知乎上对傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系？为什么要进行这些变换。研究的都是什么？问题的回答，实际上是我在本科学习数学和信号处理期间的思考，知乎上的答案因为写得仓促，只写了一些大致思想，没有具体展开，也没有图，比较难以理解，这里重新整理了一下，汇成此文。

本文要求读者需要在对傅里叶变换有一定的了解的基础之上阅读，至少要知道怎么算傅里叶变换。 此外部分地方要求读者有一定的微分方程基础，至少会求简谐振子的二阶常微分方程吧。

高等数学中一般是从周期函数的傅里叶级数开始介绍的，这里也不例外。简单的说，从高中我们就学过一个理想的波可以用三角函数来描述，但是实际上的波可以是各种奇形怪状的。首先我们来看具有固定周期的波，下图中展示了4种常见的周期波。傅里叶级数告诉我们，这些周期信号都可以分解为有限或无限个正弦波或余弦波的叠加，且这些波的频率都是原始信号频率\(f_0\)的整数倍。

这里\(f_0\)被称为这些波的基频，\(A_0/2\)代表直流系数，系数\(A_n\)被称为幅度，\(\phi_n\)被称作相位。根据幅度和相位可以利用反变换恢复信号的波形，因此幅度和相位包含了信号的全部信息。这里的幅度关于频率的函数，我们称之为频谱，相位关于频率的函数，称之为相位谱。

下图是矩形波分解为多个正弦波的示意图，随着正弦波数目的增加，可以无限地逼近矩形波。 对于非周期信号，我们不能简单地将它展开为可数个正弦波的叠加，但是可以利用傅里叶变换展开为不可数的正弦波的叠加，其表达式可以通过\(f_0 \rightarrow \infty\)简单得到。

我们日常遇到的琴音、震动等都可以分解为正弦波的叠加，电路中的周期电压信号等信号都可以分解为正弦波的叠加。 那么问题来了，为什么我们要将信号分解为正弦波的叠加呢？这里面包含两个问题，为什么要分解？为什么是正弦波（或余弦波），可不可以是其他的波？另一个问题是对通信的同学的，我们学过多个变换那么这些变换之间有哪些关系？ 在下面的篇章中，我将回答这三个问题。

这个问题可以追溯到傅里叶变换的创始人傅里叶解热传导方程的时候，因为热传导方程要求读者对热力学有一定了解，这里我以简谐振子系统为例来说明这个问题。没有阻尼的简谐振子系统可以用下面这个微分方程来描述

\(x, t, \omega_0,F\)分别代表位移、时间、系统固有频率和外界驱动力。当没有外界驱动力\(F\)时，这个系统有通解

现在我们考虑存在外界驱动力\(F\)的场景，熟悉常微分方程理论的可以知道此时的通解是上述其次方程的通解（\(F\)恒为0）加上一个特解，所谓特解就是某个满足上述非齐次方程（\(F\)不恒为0）的任意一个接！那为什么能做这种分解呢？原因在于这是一个线性系统，或者说这个方程是一个线性方程，因此遵循叠加原理，可以简单的证明这个一般性结论。假设线性系统可以由线性微分方程来描述

\(\hat{L}\)是线性算子，你可以简单地理解为谐振子方程中的左边操作。如果\(C(t), x_0(t)\)分别是其次方程通解和非齐次方程特解，即他们满足

那么将这两个式子相加，就可以得到

因此，只剩下一个问题，对于给定的驱动力\(F(t)\)，怎么找特解的问题了。 也许你还记得在高数的书上，对\(F(t)\)为三角函数和指数函数时，可以有和\(F(t)\)形式相同的特解。 例如\(F(t)=f_0 \sin(wt)\)时，可以假定非齐次方程也有这种形式的特解\(B \sin(wt)\)，代入原方程，求出待定常数可得特解\(\frac{A}{(w - w_0)^2} \sin(wt)\)。指数形式的驱动力也类似，那么对于其他形式的驱动力，怎么求特解呢？很简单，利用线性叠加原理，我如果求出很多个\(F\)为正弦驱动力\(\sin(w_n t)\)下的特解\(x_n(t)\)，并且如果\(F\)可以表达为这些正弦波的叠加，那么特解不就可以用这些特解的叠加得到了么？用数学语言表述就是

上面第二个式子右边如果等于\(F(t)\)，那么左边的\(\sum_n A_n x_n(t)\)就是原齐次方程的特解。 简单地说，就是将驱动力做傅里叶变换（如果是周期驱动力则展开为傅里叶级数），求出每个基驱动力的特解，然后叠加得到特解。当然实际求解不用那么绕，以简谐振动方程为例，直接对方程左右两边做傅里叶变换即得

上式带尖头的函数代表时域函数的傅里叶变换，这是一个代数方程，容易求得

通过上述描述，我们可以看到，将一个函数做傅里叶变换或者展开为傅里叶级数，可以帮助我们求解线性微分方程，或者从实际意义来说，可以帮助我们分析一个线性系统对外界做出如何响应！之所以能这样展开，是因为我们分析的是线性系统，如果是非线性系统就不能这样操作了。至于为什么是三角函数，我在下面将会回答，接下来我们先来看看更多的例子。

这里，我们对通信相关的领域再举一个例子，来说明展开为三角函数（或者复指数函数）的重要性。这种分析，我们称之为傅里叶分析，或者叫频谱分析。

一个信号，通常用一个时间的函数\(x(t)\)来表示，这样简单直观，因为它的函数图像可以看做信号的波形，比如声波和水波等等。很多时候，对信号的处理是很特殊的，比如说线性电路会将输入的正弦信号处理后，输出仍然是正弦信号，只是幅度和相位有一个变化。这是因为线性电路都可以用常系数线性微分方程来描述，输入信号可以看做外界驱动力，输出可以看做系统地响应，这和上面的谐振子方程类似。因此，如果我们将信号全部分解成正弦信号的线性组合（傅里叶变换）\(x(t)=\Sigma_\omega X(\omega ) e^{i \omega t}\)，那么就可以用一个传递函数\(H(w)=Y(w)/X(w)\)来描述这个线性系统。倘若这个信号很特殊，例如\(e^{2t} sin(t)\)，傅里叶变换在数学上不存在，这个时候就引入拉普拉斯变换来解决这个问题\(x(t)=\Sigma_s X(s) e^{st}\)。这样一个线性系统都可以用一个传递函数\(H(s)=Y(s)/X(s)\)来表示。所以，从这里可以看到将信号分解为正弦函数（傅里叶变换）或者 复指数函数（拉普拉斯变换）对分析线性系统也是至关重要的。

量子力学的波函数可以用多种不同的表象来描述，例如坐标表象、动量表象、能量表象等，不同表象之间的变换实际上是希尔伯特空间的一个幺正变换，其中坐标表象和动量表象之间的变换就是傅里叶变换。

信号处理中经常要对信号做各种变换，其中傅里叶变换、拉普拉斯、Z变换、离散傅里叶变换是最基础的几个变换。 他们都是为了对信号做频谱分析而采用的变换，只不过被变换的信号会有一些差异。

如果只关心信号本身，不关心系统，这几个变换的关系可以通过下面这样一个过程联系起来。

从模拟信号\(x(t)\)开始，如果模型信号能量是有限的，那么我们可以对它做傅里叶变换，把它用频域表达为\(X(w)\)。如果信号的能量是无限的，那么傅里叶变换将不会收敛，这种时候可以对它做拉普拉斯变换\(X(s)\)。 如果我们将拉普拉斯的\(s=\sigma+j w\)域画出来，他是一个复平面，拉普拉斯变换\(X(s)\)是这个复平面上的一个复变函数。而这个函数沿虚轴\(j w\)的值\(X(jw)\)就是傅里叶变换。

拉普拉斯变换和傅里叶变换广泛应用在模拟电路分析当中，下图就是对模拟电路中基本元件的\(s\)域建模示意图，当\(s=jw\)时，就是傅里叶变换了。

需要明确一个观点，不管使用时域还是频域（或s域）来表示一个信号，他们表示的都是同一个信号！也就是说，上面的时域表达、频域表达和\(s\)域表达都表示的是同一个模拟信号。关于这一点，你可以从线性空间的角度理解。同一个信号，如果采用不同的坐标框架（或者说基向量），那么他们的坐标就不同。例如，采用\(\{\delta(t-\tau )|\tau \in R\}\)作为坐标，那么信号就可以表示为\(x(t)\)，而采用\(\{e^{i w t}|w\in R\}\)则表示为傅里叶变换的形式\(X(w)\)。 两个不同坐标框架下，同一个向量的坐标可以通过一个线性变换联系起来，如果是有限维的空间，则可以表示为一个矩阵，在这里是无限维，这个线性变换就是傅里叶变换。

到现在，对信号的形式还没有多少假定，如果信号是带宽受限信号，也就是说\(X(jw)\)只在一个小范围内（如\(-B