6.1.1

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1、插值函数的应用第第 6 章章6.1 基于插值公式的数值积分基于插值公式的数值积分6.1.1 数值求积公式及其代数精度数值求积公式及其代数精度6.1.2 复化求积公式复化求积公式6.2 Gauss型求积公式型求积公式6.2.1 基于基于Hermite插值的插值的Gauss型求积公式型求积公式6.1.3 数值微分公式数值微分公式6.2.2 常见的常见的Gauss型求积公式和数值稳定性型求积公式和数值稳定性6.3 外推加速原理和外推加速原理和Romberg算法算法6.3.1 逐次分半算法逐次分半算法6.2.2 外推加速公式和外推加速公式和Romberg算法算法数值求积公式数值求积公式ba其中其中 F

2、(x)是是 f(x)的原函数。的原函数。数值求积公式及其代数精度数值求积公式及其代数精度 bF aFF(x)不能用初等函数表示不能用初等函数表示,1(),lnf xxsin(),xf xx2(),xf xe(),xef xxf(x)没有解析表达式没有解析表达式,大多数的无穷积分大多数的无穷积分,xfdx但是大多数实际问题但是大多数实际问题,N-L公式已经无能为力。公式已经无能为力。常常遇到的困难是：常常遇到的困难是：虽然找到虽然找到 f(x)的原函数的原函数,24112ln241xxx44211xxxdx212arcsin221xxc上述的积分就只能利用数值积分公式进行近似计算。上述的积分就只

3、能利用数值积分公式进行近似计算。由由Newton-Leibniz公式公式,3()1,f xx连续函数连续函数f(x)在在a,b上的定积分上的定积分即即f(x)找不到的原函数；找不到的原函数；用表格方式给出时；用表格方式给出时；除特殊的无穷积分外。除特殊的无穷积分外。但是它比被积函数复杂的多但是它比被积函数复杂的多 x(6-1)fIba xfdx设设 f(x)是定义在是定义在a,b上的可积函数上的可积函数,其中权函数其中权函数(x)在在a,b上非负可积上非负可积,所谓所谓数值求积数值求积就是用就是用nk 0本节只讨论本节只讨论(x)1的情形。的情形。近似计算近似计算 I(f)的值。的值。fInk

4、Akxf(6-2)数值求积公式数值求积公式公式公式(6-2)称为称为数值求积公式数值求积公式,fInkAkxfnk 0其中其中Ak(k=0,1,n)是与是与f(x)无关的常数无关的常数,称为称为求积系数求积系数,求积系数求积系数求积节点求积节点a,b上的点上的点 xk(k=0,1,n)称为称为求积节点求积节点。考虑带权积分考虑带权积分且至多有有限个零点。且至多有有限个零点。)(f大家熟知第一积分中值定理：大家熟知第一积分中值定理：其几何意义为：其几何意义为：数值积分公式产生的背景数值积分公式产生的背景ba xfdx)(ab),(ba曲边梯形的面积曲边梯形的面积 dbaf xx xyoab f

5、xf)(abf dxxfba 的面积的面积矩形矩形abf我们可以采用不同的近似方法得到下述数值求积公式：我们可以采用不同的近似方法得到下述数值求积公式：称为称为左矩形左矩形数值求积公式；数值求积公式；称为称为右矩形右矩形数值求积公式；数值求积公式；称为称为中矩形中矩形数值求积公式；数值求积公式；称为称为梯形梯形数值求积公式。数值求积公式。)(afba xfdx(),ba)(bfba xfdx(),ba2bafba xfdx(),baba xfdx)(af)(bfab22ba xyoab)(af)(xf)(bf)(abafxyoab)(xf)(2abbaf2bafxyoab)(xf)(abbf,

6、kx),1,0(nknabh（称为步长）（称为步长）,取为插值节点（也是求积节点）取为插值节点（也是求积节点）,得到的数值求积公式称为得到的数值求积公式称为插值型求积公式插值型求积公式。本节采用的逼近函数是本节采用的逼近函数是 f(x)在等距节点上的插值多项式在等距节点上的插值多项式,令令将将a,b进行进行n等分等分,hka则则 f(x)可表示成它们确定的可表示成它们确定的 ()nnf xP xrx(6-3)nk 0 xlxfkk xrn进一步进一步ba xfdxbank 0 xlxfkkdxdx)(xrnbabank 0kxfdxdx)(xrnba)(xlk(6-4)nk 0kAkxfbad

7、x)(xrnLagrange插值多项式及其余项之和插值多项式及其余项之和,即即将分点将分点xnf1)(fIn称为称为n+1点的点的Newton-Cotes公式公式,kA这样得到的插值型求积公式这样得到的插值型求积公式(6-5)nk 0kA)(kxfba)(xlkxdnk,1,0求积余项为求积余项为(6-7)badx)(xrn fEn)1(n!ba 1nxdxEn(f)标志着求积公式的误差大小。标志着求积公式的误差大小。banxxxf,0 1nxdx(6-6)10nnxxxxx。其中其中其中求积系数其中求积系数在在Newton-Cotes公式中公式中,最常用的是最常用的是n=1,2,4时的三个公

8、式。时的三个公式。T(6-8)此时此时,应有应有0Aba)(0 xlxdbxbabaxdab21Aba)(1xlxdaxabbaxdab2这就是这就是梯形求积公式梯形求积公式：ab2)(bf)(af)()()(101bfAafAfI当当n=1时时,求积公式为：求积公式为：梯形求积公式梯形求积公式)(1fIf(a)f(b)ab fx dxxfbaT xp1xdab2bbaaba22 bfAbafAafAfI21022此时此时0Aba xl0 xdbxbabaa2baxd1Aba xl1xd2baxab6ax2bababba2baxab62Aba xl2xdaxbaxdbx3当当n=2时时,求积公

9、式为：求积公式为：Sab6此数值求积公式称为此数值求积公式称为Simpson求积公式求积公式：)(bf)(af24baf(6-9)CfI)(4进一步可得进一步可得,n=4时的时的Cotes公式公式)(7)(32)(12)(32)(7321bfxfxfxfafab90(6-10)Simpson求积公式求积公式Cotes求积公式求积公式)(2fIxoyba2ba xf xp2练习题练习题I用梯形求积公式和用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分求积公式计算积分102xedx解：解：由梯形求积公式：由梯形求积公式：Tab2)(bf)(af1211e由由Simpson求积公式：求积公式：Sab6)(bf)(af24baf1614141ee练习题练习题用梯形求积公式和用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分求积公式计算积分I10 x1dx解：解：由梯形求积公式：由梯形求积公式：Tab2)(bf)(af1221143由由Simpson求积公式：求积公式：Sab6)(bf)(af24baf16211362538ln20.693147180.6944444ln20.001297638S0.75ln20.056852819T

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