Guass

定义1：在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]内，如果由节点 x 0 , x 1 , ⋯   , x n x_0,x_1,\cdots,x_n x0​,x1​,⋯,xn​构造的插值型求积公式 ∫ a b f ( x ) d x ≅ ∑ k = 0 n A k f ( x k ) \int_a^b f(x)dx \cong \sum_{k=0}^nA_k f(x_k) ∫ab​f(x)dx≅k=0∑n​Ak​f(xk​) 具有2n+1次代数精度，则称该求积公式为Guass求积公式，求积节点 x k ( k = 0 , 1 , ⋯   , n ) x_k(k=0,1,\cdots,n) xk​(k=0,1,⋯,n)为Guass点。

Guass型求积公式是各种数值积分公式中精度较高的一种，它与梯形公式和Simpson公式等一样，也是插值型的。所不同是，它所选择的n+1个节点 x 0 , x 1 , ⋯   , x n x_0,x_1,\cdots,x_n x0​,x1​,⋯,xn​并非等距节点，也取消了 x 0 x_0 x0​和 x n x_n xn​与积分上下限a和b相重合的限制，其代数精度由此可提高到2n+1次。

构造Guass型求积公式，首先要确定出 A k A_k Ak​和 x k ( k = 0 , 1 , ⋯   , n ) x_k(k=0,1,\cdots,n) xk​(k=0,1,⋯,n)两类系数，而求系数的关键点和难点在于求Guass点 x k x_k xk​，下面以构造区间 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]上的两点Guass公式 ∫ − 1 1 f ( x ) d x ≅ A 0 f ( x 0 ) + A 1 f ( x 1 ) \int_{-1}^{1}f(x)dx \cong A_0f(x_0)+A_1f(x_1) ∫−11​f(x)dx≅A0​f(x0​)+A1​f(x1​) 为例，说明如何确定求积系数和求积节点。根据Guass求积公式 { A 0 + A 1 + ⋯ + A n = b − a A 0 x 0 + A 1 x 1 + ⋯ + A n x n = ( b 2 − a 2 ) / 2 ⋯ A 0 x 0 2 n + 1 + A 1 x 1 2 n + 1 + ⋯ + A n x n 2 n + 1 = ( b 2 n + 2 − a 2 n + 2 ) / ( 2 n + 2 ) (1) \begin{cases} A_0+A_1+\cdots+A_n=b-a \\ A_0x_0+A_1x_1+\cdots+A_nx_n=(b^2-a^2)/2 \\ \cdots \\ A_0x_0^{2n+1}+A_1x_1^{2n+1}+\cdots+A_nx_n^{2n+1}=(b^{2n+2}-a^{2n+2})/(2n+2) \end{cases} \tag{1} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​A0​+A1​+⋯+An​=b−aA0​x0​+A1​x1​+⋯+An​xn​=(b2−a2)/2⋯A0​x02n+1​+A1​x12n+1​+⋯+An​xn2n+1​=(b2n+2−a2n+2)/(2n+2)​(1) 其中 A i A_i Ai​和 x i ( i = 0 , 1 , 2 , ⋯   , n ) x_i(i=0,1,2,\cdots, n) xi​(i=0,1,2,⋯,n)均为待定，则上式方程组具有（2n+2）个待定系数。

列出非线性方程组为： A 0 + A 1 = b − a = 1 − ( − 1 ) = 2 A 0 x 0 + A 1 x 1 = b 2 − a 2 2 = 0 A 0 x 0 2 + A 1 x 1 2 = b 3 − a 3 3 = 2 3 A 0 x 0 3 + A 1 x 1 3 = b 4 − a 4 4 = 0 A_0+A_1=b-a=1-(-1)=2 \\ A_0x_0+A_1x_1= \frac{b^2-a^2}{2}=0 \\ A_0x_0^2 + A_1x_1^2=\frac{b^3-a^3}{3} =\frac{2}{3} \\ A_0x_0^3 + A_1x_1^3=\frac{b^4-a^4}{4}=0 A0​+A1​=b−a=1−(−1)=2A0​x0​+A1​x1​=2b2−a2​=0A0​x02​+A1​x12​=3b3−a3​=32​A0​x03​+A1​x13​=4b4−a4​=0 解之，得： A 0 = A 1 = 1 ; x 0 = − 1 3 和 x 1 = 1 3 A_0=A_1=1; \quad x_0=-\frac{1}{\sqrt{3}} 和 x_1=\frac{1}{\sqrt{3}} A0​=A1​=1;x0​=−3 ​1​和x1​=3 ​1​ 因此，两点Guass公式为： ∫ − 1 1 f ( x ) d x ≅ f ( − 1 3 ) + f ( 1 3 ) \int_{-1}^1f(x)dx \cong f(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + f(\frac{1}{\sqrt{3}}) ∫−11​f(x)dx≅f(−3 ​1​)+f(3 ​1​) 若能用某种简便方法先求出求积节点，非线性方程组（1）就变称线性方程组（2），此时求积系数 A k A_k Ak​就能够比较容易地求得 { A 0 + A 1 + ⋯ + A n = b − a A 0 x 0 + A 1 x 1 + ⋯ + A n x n = ( b 2 − a 2 ) / 2 ⋯ A 0 x 0 n + A 1 x 1 n + ⋯ + A n x n n = ( b n + 1 − a n + 1 ) / ( n + 1 ) (2) \begin{cases} A_0+A_1+\cdots+A_n=b-a \\ A_0x_0+A_1x_1+\cdots+A_nx_n=(b^2-a^2)/2 \\ \cdots \\ A_0x_0^n+A_1x_1^n+\cdots+A_nx_n^n=(b^{n+1}-a^{n+1})/(n+1) \end{cases} \tag{2} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​A0​+A1​+⋯+An​=b−aA0​x0​+A1​x1​+⋯+An​xn​=(b2−a2)/2⋯A0​x0n​+A1​x1n​+⋯+An​xnn​=(bn+1−an+1)/(n+1)​(2) 定理1：求积节点 x k ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , n ) x_k(k=0,1,2,\cdots,n) xk​(k=0,1,2,⋯,n)是Guass点的充要条件是，以这些点位零点的多项式 A ( x ) = ∏ k = 0 n ( x − x k ) A(x)=\prod_{k=0}^n(x-x_k) A(x)=k=0∏n​(x−xk​) 与任意次数不超过n的多项式 p ( x ) p(x) p(x)均正交，即： ∫ a b p ( x ) A ( x ) d x = 0 \int_a^bp(x)A(x)dx=0 ∫ab​p(x)A(x)dx=0

Legendre多项式由下列表达式定义： { L 0 ( x ) = 1 L n ( x ) = 1 2 n n ! d n d x n [ ( x 2 − 1 ) n ] ( n = 1 , 2 , ⋯   ) \begin{cases} L_0(x)=1 \\ L_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n] \quad (n=1,2,\cdots) \end{cases} {L0​(x)=1Ln​(x)=2nn!1​dxndn​[(x2−1)n](n=1,2,⋯)​ Legendre多项式的几个重要性质如下：

（1）在区间 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]上，n次Legendre多项式 L n ( x ) L_n(x) Ln​(x)与任意低于n次的多项式 p ( x ) p(x) p(x)正交，即 ∫ − 1 1 p ( x ) L n ( x ) d x = 0 \int_{-1}^1p(x)L_n(x)dx=0 ∫−11​p(x)Ln​(x)dx=0 （2）Legendre多项式所有的根在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]中，并且是不相同的实根。

（3）递推关系为： L n ( x ) = 2 n − 1 n x L n − 1 ( x ) − n − 1 n L n − 2 ( x ) n ≥ 2 L_n(x)=\frac{2n-1}{n}xL_{n-1}(x)-\frac{n-1}{n}L_{n-2}(x) \quad n\geq 2 Ln​(x)=n2n−1​xLn−1​(x)−nn−1​Ln−2​(x)n≥2

根据Legendre多项式性质（1），可以去Legendre多项式的零点作为求积节点来构造Guass公式。这种求积方法就称为Guass-Legendre求积法。

例如，为了构造3点Guass公式 ∫ − 1 1 f ( x ) d x ≅ ∑ k = 1 3 A k f ( x k ) \int_{-1}^1 f(x)dx \cong \sum_{k=1}^3A_kf(x_k) ∫−11​f(x)dx≅k=1∑3​Ak​f(xk​) 可取3次Legendre多项式 L 3 ( x ) L_3(x) L3​(x)的零点 x 1 = − 3 / 5 , x 2 = 0 , x 3 = 3 / 5 x_1=-\sqrt{3/5}, \quad x_2=0, \quad x_3=\sqrt{3/5} x1​=−3/5 ​,x2​=0,x3​=3/5 ​ 作为求积节点。令求积公式对于 f ( x ) = 1 , x , x 2 f(x)=1,x,x^2 f(x)=1,x,x2都准确成立，则有： { A 1 + A 2 + A 3 = ∫ − 1 1 d x = 2 A 1 x 1 + A 2 x 2 + A 3 x 3 = ∫ − 1 1 x d x = 0 A 1 x 1 2 + A 2 x 2 2 + A 3 x 3 2 = ∫ − 1 1 x 2 d x = 2 / 3 \begin{cases} A_1+A_2+A_3=\int_{-1}^1dx=2 \\ A_1x_1+A_2x_2+A_3x_3 = \int_{-1}^1 xdx=0 \\ A_1x_1^2+A_2x_2^2+A_3x_3^2 = \int_{-1}^{1}x^2dx=2/3 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​A1​+A2​+A3​=∫−11​dx=2A1​x1​+A2​x2​+A3​x3​=∫−11​xdx=0A1​x12​+A2​x22​+A3​x32​=∫−11​x2dx=2/3​ 解之，得3个求积加权系数 A 1 = 5 / 9 , A 2 = 8 / 9 , A 3 = 5 / 9 A_1=5/9,A_2=8/9,A_3=5/9 A1​=5/9,A2​=8/9,A3​=5/9，最后得到3点Guass求积公式为： ∫ − 1 1 f ( x ) d x ≅ 5 9 f ( − 3 5 ) + 8 9 f ( 0 ) + 5 9 f ( 3 5 ) \int_{-1}^1f(x)dx \cong \frac{5}{9}f(-\sqrt{\frac{3}{5}})+\frac{8}{9}f(0)+\frac{5}{9}f(\sqrt{\frac{3}{5}}) ∫−11​f(x)dx≅95​f(−53​ ​)+98​f(0)+95​f(53​ ​) 如果区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]是任意的，则需通过如下变换： x = b − a 2 t + a + b 2 d x = b − a 2 d t x=\frac{b-a}{2}t+\frac{a+b}{2} \quad dx=\frac{b-a}{2}dt x=2b−a​t+2a+b​dx=2b−a​dt 将在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的积分化为在区间 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]上的积分，即： ∫ a b f ( x ) d x ≅ b − a 2 ∫ − 1 1 f ( b − a 2 t + a + b 2 ) d t = b − a 2 ∫ − 1 1 φ ( t ) d t \int_a^bf(x)dx \cong \frac{b-a}{2}\int_{-1}^1 f(\frac{b-a}{2}t+\frac{a+b}{2})dt=\frac{b-a}{2}\int_{-1}^1 \varphi(t)dt ∫ab​f(x)dx≅2b−a​∫−11​f(2b−a​t+2a+b​)dt=2b−a​∫−11​φ(t)dt 于是，在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的两点Guass-Legendre公式为： ∫ a b f ( x ) d x ≅ b − a 2 [ f ( − b − a 2 3 + a + b 2 ) + f ( b − a 2 3 + b + a 2 ) ] \int_a^b f(x)dx \cong \frac{b-a}{2}[f(-\frac{b-a}{2\sqrt{3}}+\frac{a+b}{2})+f(\frac{b-a}{2\sqrt{3}}+\frac{b+a}{2})] ∫ab​f(x)dx≅2b−a​[f(−23 ​b−a​+2a+b​)+f(23 ​b−a​+2b+a​)]