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机械求积法 转载请注明出处! 一、引言 随着人工智能的兴起,在计算机领域又一次掀起了数学热,不管是传统的机器学习,还是现在的深度学习,都离不开积分的支撑,那计算机在底层到底是怎样求积分的呢?小编同大家一起探讨。 二、理论推导我们知道,在我们所学的微积分中我们是通过牛顿-莱布尼兹公式进行求解,然而在实际运用中我们往往会遇到比较复杂的函数,他们的原函数我们往往是找不到的,这个时候我们应该怎么求解呢? 我们不难想的办法是定义法,也就是把区间进行划分,当分点非常多的时候我们就可以用矩形面积代替曲线所围成的面积,然而我们为了得到精度很高的结果往往需要划分等多区间,这样计算的次数将大大增加。 那应该怎么优化呢?这里我们介绍一种求积分的办法:机械求积法。 机械求积分法前戏: 在微积分中我们求定积分时不仅有牛顿-莱布尼兹公式,同时还有积分中值定理: 若函数 其中,a、b、 我们从上式子出发,将求积分的问题转化为找某一个 假设我们的函数是一个0次函数也就是一个F(x) = C 是一个常函数时候,在[a,b]区间的定积分就是(a-b)*f(a),也就是矩形面积,这样我们的f( 我们很容易想到这个图形是一个梯形。 因而其积分=(b-a)*[f(a)+f(b)]/2,这就是我们的梯形公式,这里的f(
很容易想到的就是把区间细分成很多个小区间,然后在每个区间找一个合适的f( 机械求积法:
在知道机械求积公式之后,那我们怎么检验一个求积公式的好坏的?这里我们引入代数精度的概念。 定义: 如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确成立,而对于m+1次的的多项式不准确成立,则称该公式具有m次代数精度。 (代数精度越高,越精确) 我们来看看梯形公式的代数精度:(在验证时候只要取1,x,x^2,x^3.......等就行了,其他都可以由这几个组合而成) F(x) = (b-a)*[f(a)+f(b)]/2,当 f(x) = 1时候,设a=0,b=1,显然成立,而f(x) = x 时,用牛顿-莱布尼兹公式算得:x^2/2|10 = 0.5,而用梯形公式得到的也是0.5,这样对于f(x) = x时也精确成立,而当f(x) = x^2时候则不成了,那么我们就说 梯形公式具有一次代数精度,其他的代数精度的确定方法也同上。 四、插值型求积公式 我们在第二部分时候知道,我们的目的就是不断的划分区间直到有办法精确的求出积分(找到f( (没有接触插值法的可以移步) 见鬼吧拉格朗日插值法 这里我们用插值得到的插值多项式子替代原函
这就是插值型积分公式,这样我们就通过插值法可以减少运算,然而这并不是我们最终要的,这只是个开始,更牛的还在后头,请持续关注Jack计算方法系列博客。 转载请注明出处! 点击看看主页其他内容呗!
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