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2.4 线性回归的损失和优化学习目标1 损失函数2 优化算法2.1 正规方程2.1.1 什么是正规方程2.1.2 正规方程求解举例2.1.3 正规方程的推导
2.2 梯度下降(Gradient Descent)2.2.1 什么是梯度下降2.2.2 梯度的概念2.2.3 梯度下降举例2.2.4 梯度下降**(**Gradient Descent)公式
3 梯度下降和正规方程的对比3.1 算法选择依据:
4 小结
2.4 线性回归的损失和优化
学习目标
知道线性回归中损失函数知道使用正规方程对损失函数优化的过程知道使用梯度下降法对损失函数优化的过程
假设刚才的房子例子,真实的数据之间存在这样的关系: 真实关系:真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率那么现在呢,我们随意指定一个关系(猜测) 随机指定关系:预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率请问这样的话,会发生什么?真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢?类似这样样子 既然存在这个误差,那我们就将这个误差给衡量出来 1 损失函数总损失定义为: 如何去减少这个损失,使我们预测的更加准确些?既然存在了这个损失,我们一直说机器学习有自动学习的功能,在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化(其实是数学当中的求导功能)回归的总损失!!! 2 优化算法如何去求模型当中的W,使得损失最小?(目的是找到最小损失对应的W值) 线性回归经常使用的两种优化算法 正规方程梯度下降法 2.1 正规方程 2.1.1 什么是正规方程理解:X为特征值矩阵,y为目标值矩阵。直接求到最好的结果 缺点:当特征过多过复杂时,求解速度太慢并且得不到结果 以下表示数据为例: 即: 运用正规方程方法求解参数: 把该损失函数转换成矩阵写法: 其中y是真实值矩阵,X是特征值矩阵,w是权重矩阵 对其求解关于w的最小值,起止y,X 均已知二次函数直接求导,导数为零的位置,即为最小值。 求导: 注:式(1)到式(2)推导过程中, X是一个m行n列的矩阵,并不能保证其有逆矩阵,但是右乘XT把其变成一个方阵,保证其有逆矩阵。 式(5)到式(6)推导过程中,和上类似。 推导方式二【拓展】: 正规方程的另一种推导方式 2.2 梯度下降(Gradient Descent) 2.2.1 什么是梯度下降梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。 假设这样一个场景: 一个人被困在山上,需要从山上下来(i.e. 找到山的最低点,也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大,导致可视度很低。 因此,下山的路径就无法确定,他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候,他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。 具体来说就是,以他当前的所处的位置为基准,寻找这个位置最陡峭的地方,然后朝着山的高度下降的地方走,(同理,如果我们的目标是上山,也就是爬到山顶,那么此时应该是朝着最陡峭的方向往上走)。然后每走一段距离,都反复采用同一个方法,最后就能成功的抵达山谷。 梯度下降的基本过程就和下山的场景很类似。 首先,我们有一个可微分的函数。这个函数就代表着一座山。 我们的目标就是找到这个函数的最小值,也就是山底。 根据之前的场景假设,最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向,然后沿着此方向向下走,对应到函数中,就是找到给定点的梯度 ,然后朝着梯度相反的方向,就能让函数值下降的最快!因为梯度的方向就是函数值变化最快的方向。 所以,我们重复利用这个方法,反复求取梯度,最后就能到达局部的最小值,这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向,也就是场景中测量方向的手段。 2.2.2 梯度的概念梯度是微积分中一个很重要的概念 在单变量的函数中,梯度其实就是函数的微分,代表着函数在某个给定点的切线的斜率; 在多变量函数中,梯度是一个向量,向量有方向,梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向; 这也就说明了为什么我们需要千方百计的求取梯度!我们需要到达山底,就需要在每一步观测到此时最陡峭的地方,梯度就恰巧告诉了我们这个方向。梯度的方向是函数在给定点上升最快的方向,那么梯度的反方向就是函数在给定点下降最快的方向,这正是我们所需要的。所以我们只要沿着梯度的反方向一直走,就能走到局部的最低点! 2.2.3 梯度下降举例 1. 单变量函数的梯度下降**我们假设有一个单变量的函数 :J(θ) = θ2 函数的微分:J、(θ) = 2θ 初始化,起点为: θ0 = 1 学习率:α = 0.4 我们开始进行梯度下降的迭代计算过程: 如图,经过四次的运算,也就是走了四步,基本就抵达了函数的最低点,也就是山底 我们假设有一个目标函数 ::J(θ) = θ12 + θ22 现在要通过梯度下降法计算这个函数的最小值。我们通过观察就能发现最小值其实就是 (0,0)点。但是接下 来,我们会从梯度下降算法开始一步步计算到这个最小值! 我们假设初始的起点为: θ0 = (1, 3) 初始的学习率为:α = 0.1 函数的梯度为:▽:J(θ) =< 2θ1 ,2θ2> 进行多次迭代: 我们发现,已经基本靠近函数的最小值点 1) α是什么含义? α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长,意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离,以保证不要步子跨的太大扯着蛋,哈哈,其实就是不要走太快,错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢,导致太阳下山了,还没有走到山下。所以α的选择在梯度下降法中往往是很重要的!α不能太大也不能太小,太小的话,可能导致迟迟走不到最低点,太大的话,会导致错过最低点! 梯度前加一个负号,就意味着朝着梯度相反的方向前进!我们在前文提到,梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向!而我们需要朝着下降最快的方向走,自然就是负的梯度的方向,所以此处需要加上负号 我们通过两个图更好理解梯度下降的过程 所以有了梯度下降这样一个优化算法,回归就有了"自动学习"的能力 优化动态图演示 |
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