【高数+复变函数】傅里叶变换

回顾：上一节中主要讲了Fourier积分公式的指数形式及其三角形式 f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) e − j ω τ d τ ] e j ω t d ω = 1 π ∫ 0 + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) cos ⁡ ω ( t − τ ) d τ ] d ω f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{e}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega\\=\frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cos \omega(t-\tau) \mathrm{d} \tau\right] \mathrm{d} \omega f(t)=2π1​∫−∞+∞​[∫−∞+∞​f(τ)e−jωτdτ]ejωtdω=π1​∫0+∞​[∫−∞+∞​f(τ)cosω(t−τ)dτ]dω并根据奇函数和偶函数对三角形式进行了进一步的化简：

当 f ( t ) f(t) f(t) 是奇函数时: f ( t ) = 2 π ∫ 0 + ∞ [ ∫ 0 + ∞ f ( τ ) sin ⁡ ω τ d τ ] sin ⁡ ω t   d ω . f(t)=\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty}\left[\int_0^{+\infty} f(\tau) \sin \omega \tau \mathrm{d} \tau\right] \sin \omega t \mathrm{~d} \omega . f(t)=π2​∫0+∞​[∫0+∞​f(τ)sinωτdτ]sinωt dω.当 f ( t ) f(t) f(t) 是偶函数时: f ( t ) = 2 π ∫ 0 + ∞ [ ∫ 0 + ∞ f ( τ ) cos ⁡ ω τ d τ ] cos ⁡ ω t   d ω . f(t)=\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty}\left[\int_0^{+\infty} f(\tau) \cos \omega \tau \mathrm{d} \tau\right] \cos \omega t \mathrm{~d} \omega . f(t)=π2​∫0+∞​[∫0+∞​f(τ)cosωτdτ]cosωt dω.并给出了Fourier积分定理需满足的条件：

这一节我们来看傅里叶变换

定义 :若函数 f ( t ) f(t) f(t)在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上满足 Fourier 积分定理的条件,则称函数 F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t (1.1) F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-j\omega t}\mathrm{d}t \tag{1.1} F(ω)=∫−∞+∞​f(t)e−jωtdt(1.1) 为f(t)的Fourier 变换，而称函数 f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t d ω (1.2) f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega \tag{1.2} f(t)=2π1​∫−∞+∞​F(ω)ejωtdω(1.2) 为 F(w)的 Fourier 逆变换。

(1.1)式叫做f(t)的Fourier变换式，可记为 F ( ω ) = F [ f ( t ) ] F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)] F(ω)=F[f(t)], F ( w ) F(w) F(w)叫做 f ( t ) f(t) f(t)的象函数

(1.2)式叫做F(t)的Fourier逆变换式，可记为 f ( t ) = F − 1 [ F ( ω ) ] f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)] f(t)=F−1[F(ω)], f ( t ) f(t) f(t)叫做 F ( w ) F(w) F(w)的象原函数

可以说象函数 F(w)和象原函数f(t)构成了一个 Fourier 变换对,它们有相同的奇偶性

当 f ( t ) f(t) f(t)为奇函数时，有正弦傅里叶变换对： F s ( ω ) = ∫ 0 + ∞ f ( t ) sin ⁡ ω t d t , f ( t ) = 2 π ∫ 0 + ∞ F s ( ω ) sin ⁡ ω t d ω (1.3) F_s\left(\omega\right)=\int_0^{+\infty}f(t)\sin\omega\mathrm{td}t,\quad f(t)=\frac{2}{\pi}\int_0^{+\infty}F_s(\omega)\sin\omega\mathrm{td}\omega \tag{1.3} Fs​(ω)=∫0+∞​f(t)sinωtdt,f(t)=π2​∫0+∞​Fs​(ω)sinωtdω(1.3) 当 f ( t ) f(t) f(t)为偶函数时，有余弦傅里叶变换对： F c ( ω ) = ∫ 0 + ∞ f ( t ) cos ω td t , f ( t ) = 2 π ∫ 0 + ∞ F c ( ω ) cos ω td ω (1.4) F_{c}(\omega)=\int_{0}^{+\infty}f(t)\text{cos}\omega\text{td}t,\quad f(t)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}F_{c}(\omega)\text{cos}\omega\text{td}\omega \tag{1.4} Fc​(ω)=∫0+∞​f(t)cosωtdt,f(t)=π2​∫0+∞​Fc​(ω)cosωtdω(1.4)

在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为 t=0)进入一单位电量脉冲,在普通导数定义下这一点处导数不存在,为了确定这种电路上的电流,必须引进一个新的函数,这个函数称为单位脉冲函数或称为 Dirac 函数

定义 对于任何一个无穷次可微的函数 f ( t ) f(t) f(t)如果满足 ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) f ( t ) d t = lim ⁡ ε → 0 ∫ − ∞ + ∞ δ ε ( t ) f ( t ) d t (1.5) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)\mathrm{d}t=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{\varepsilon}(t)f(t)\mathrm{d}t\tag{1.5} ∫−∞+∞​δ(t)f(t)dt=ε→0lim​∫−∞+∞​δε​(t)f(t)dt(1.5) 其中 δ ε ( t ) = { 0 , t < 0 , 1 ε , 0 ≤ t ≤ ε , 0 , t > ε , (1.6) \delta_{\varepsilon}(t)=\begin{cases}0,t\varepsilon,}\end{cases}\tag{1.6} δε​(t)=⎩ ⎨ ⎧​0,tε,​(1.6) 则称 δ ε ( t ) \delta_{\varepsilon}\left(\boldsymbol{t}\right) δε​(t)的弱极限为 δ − 函数 \delta-函数 δ−函数，简记为： lim ⁡ ε → 0 δ ε ( t ) = δ ( t ) \operatorname*{lim}_{\varepsilon\to0}\delta_{\varepsilon}\left(\boldsymbol{t}\right)=\delta\left(\boldsymbol{t}\right) limε→0​δε​(t)=δ(t)，如下图所示

性质：

积分性质：按(1.5)式给出的定义，取 f ( t ) = 1 f(t)=1 f(t)=1,有 ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = lim ⁡ ε → 0 ∫ − ∞ + ∞ δ ε ( t ) d t = lim ⁡ ε → 0 ∫ 0 ε 1 ε d t = 1 (1.7) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(t\right)\mathrm{d}t=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{\varepsilon}\left(\boldsymbol{t}\right)\mathrm{d}t=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\int_{0}^{\varepsilon}\frac{1}{\boldsymbol{\varepsilon}}\mathrm{d}t=1\tag{1.7} ∫−∞+∞​δ(t)dt=ε→0lim​∫−∞+∞​δε​(t)dt=ε→0lim​∫0ε​ε1​dt=1(1.7)

筛选性质：若 f ( t ) f(t) f(t)是无穷次可微的函数，则有： ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) f ( t ) d t = f ( 0 ) . (1.8) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(\begin{matrix}t\end{matrix}\right)f(\begin{matrix}t\end{matrix})\mathrm{d}t=f(\begin{matrix}0\end{matrix}).\tag{1.8} ∫−∞+∞​δ(t​)f(t​)dt=f(0​).(1.8) 证明：

更一般地还成立： ∫ − ∞ + ∞ δ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = f ( t 0 ) . (1.9) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(\begin{matrix}t-t_0\end{matrix}\right)f(\begin{matrix}t\end{matrix})\mathrm{d}t=f(\begin{matrix}t_0\end{matrix}).\tag{1.9} ∫−∞+∞​δ(t−t0​​)f(t​)dt=f(t0​​).(1.9) 二维 δ − 函数 \delta-函数 δ−函数的定义方式与性质与此类似。

其他性质

1 ∘ δ 1^{\circ} \delta 1∘δ-函数是偶函数, 即 δ ( t ) = δ ( − t ) \delta(t)=\delta(-t) δ(t)=δ(−t). 证明（可以使用筛选性质）： ∫ − ∞ + ∞ δ ( − t ) f ( t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ δ ( u ) f ( − u ) d u ( 令 u = − t ) = f ( − u ) ∣ u = 0 = f ( 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) f ( t ) d t \int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(\begin{matrix}-t\end{matrix}\right)f(\begin{matrix}t\end{matrix})\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(\begin{matrix}u\end{matrix}\right)f(\begin{matrix}-u\end{matrix})\mathrm{d}u(令u=-t)=f(-u)|_{u=0}=f(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(\begin{matrix}t\end{matrix}\right)f(\begin{matrix}t\end{matrix})\mathrm{d}t ∫−∞+∞​δ(−t​)f(t​)dt=∫−∞+∞​δ(u​)f(−u​)du(令u=−t)=f(−u)∣u=0​=f(0)=∫−∞+∞​δ(t​)f(t​)dt所以 δ ( t ) = δ ( − t ) \delta(t)=\delta(-t) δ(t)=δ(−t) 2 ∘ δ 2^{\circ} \delta 2∘δ-函数是单位阶跃函数的导数, 即 ∫ − ∞ t δ ( τ ) d τ = u ( t ) , d d t u ( t ) = δ ( t ) (1.10) \int_{-\infty}^t \delta(\tau) \mathrm{d} \tau=u(t), \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} u(t)=\delta(t) \tag{1.10} ∫−∞t​δ(τ)dτ=u(t),dtd​u(t)=δ(t)(1.10) 其中 u ( t ) = { 0 , t < 0 , 1 , t > 0 u(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t0\end{array}\right. u(t)={0,1,​t0​ 称为单位阶跃函数. 证明： ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = 1 ∴ ∫ − ∞ t δ ( t ) d t = 1 , t > 0 且 ∫ − ∞ t δ ( t ) d t = 0 , t < 0 \int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(t\right)\mathrm{d}t=1 \\ \therefore \int_{-\infty}^{t}\delta\left(t\right)\mathrm{d}t=1,t>0\\ 且\int_{-\infty}^{t}\delta\left(t\right)\mathrm{d}t=0,t0且∫−∞t​δ(t)dt=0,t 0 u(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t0\end{array}\right. u(t)={0,1,​t0​ 的 Fourier 变换为 1 j ω + π δ ( ω ) \frac{1}{\mathrm{j} \omega}+\pi \delta(\omega) jω1​+πδ(ω). 证 事实上,若 F ( ω ) = 1 j ω + π δ ( ω ) F(\omega)=\frac{1}{\mathrm{j} \omega}+\pi \delta(\omega) F(ω)=jω1​+πδ(ω), 则按 Fourier 逆变换可得 f ( t ) = F − 1 [ F ( ω ) ] = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ [ 1 j ω + π δ ( ω ) ] e j ω t   d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ π δ ( ω ) e i ω t   d ω + 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e j ω t j ω d ω = 1 2 ∫ − ∞ + ∞ δ ( ω ) e j ω t   d ω + 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ sin ⁡ ω t ω d ω = 1 2 + 1 π ∫ 0 + ∞ sin ⁡ ω t ω d ω . \begin{aligned} f(t) & =\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{1}{\mathrm{j} \omega}+\pi \delta(\omega)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} \omega \\ & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \pi \delta(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \mathrm{~d} \omega+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t}}{\mathrm{j} \omega} \mathrm{d} \omega \\ & =\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} \omega+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} \mathrm{d} \omega \\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} \mathrm{d} \omega . \end{aligned} f(t)​=F−1[F(ω)]=2π1​∫−∞+∞​[jω1​+πδ(ω)]ejωt dω=2π1​∫−∞+∞​πδ(ω)eiωt dω+2π1​∫−∞+∞​jωejωt​dω=21​∫−∞+∞​δ(ω)ejωt dω+2π1​∫−∞+∞​ωsinωt​dω=21​+π1​∫0+∞​ωsinωt​dω.​ 为了说明 f ( t ) = u ( t ) f(t)=u(t) f(t)=u(t), 就必须计算积分 ∫ 0 + ∞ sin ⁡ ω t ω d ω \int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} \mathrm{d} \omega ∫0+∞​ωsinωt​dω. 我们已经知道 Dirichlet 积分 ∫ 0 + ∞ sin ⁡ ω ω d ω = π 2 \int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega}{\omega} d \omega=\frac{\pi}{2} ∫0+∞​ωsinω​dω=2π​, 因此,有 ∫ 0 + ∞ sin ⁡ ω t ω d ω = ∫ 0 + ∞ sin ⁡ ω t ω t d ω t = { − π 2 , t < 0 , 0 , t = 0 , π 2 , t > 0 , \int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} \mathrm{d} \omega= \int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega t} \mathrm{d} \omega t=\begin{cases}-\frac{\pi}{2}, & t0,\end{cases} ∫0+∞​ωsinωt​dω=∫0+∞​ωtsinωt​dωt=⎩ ⎨ ⎧​−2π​,0,2π​,​t0,​ 将此结果代入 f ( t ) f(t) f(t) 的表达式中，当 t ≠ 0 t \neq 0 t=0 时可得 f ( t ) = 1 2 + 1 π ∫ 0 + ∞ sin ⁡ ω t ω d ω = { 1 2 + 1 π ( − π 2 ) = 0 , t < 0 , 1 2 + 1 π ⋅ π 2 = 1 , t > 0. f(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} \mathrm{d} \omega= \begin{cases}\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0, & t0 .\end{cases} f(t)=21​+π1​∫0+∞​ωsinωt​dω={21​+π1​(−2π​)=0,21​+π1​⋅2π​=1,​t0.​ 这就表明 1 j ω + π δ ( ω ) \frac{1}{\mathrm{j} \omega}+\pi \delta(\omega) jω1​+πδ(ω) 的 Fourier 逆变换为 f ( t ) = u ( t ) f(t)=u(t) f(t)=u(t). 因此, u ( t ) u(t) u(t) 和 1 j ω + π δ ( ω ) \frac{1}{\mathrm{j} \omega}+\pi \delta(\omega) jω1​+πδ(ω) 构成了一个 Fourier变换对,所以,单位阶跃函数 u ( t ) u(t) u(t) 的积分表达式在 t ≠ 0 t \neq 0 t=0 时, 可写为 u ( t ) = 1 2 + 1 π ∫ 0 + ∞ sin ⁡ ω t ω d ω . u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} \mathrm{d} \omega . u(t)=21​+π1​∫0+∞​ωsinωt​dω. 同样，若 F ( ω ) = 2 π δ ( ω ) F(\omega)=2 \pi \delta(\omega) F(ω)=2πδ(ω), 则由 Fourier 逆变换可得 f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t   d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ 2 π δ ( ω ) e j ω t   d ω = ∫ − ∞ + ∞ δ ( ω ) e j ω t   d ω = 1 f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} \mathrm{~d} \omega=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} 2 \pi \delta(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} \mathrm{~d} \omega=\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} \mathrm{~d} \omega=1 f(t)=2π1​∫−∞+∞​F(ω)ejωt dω=2π1​∫−∞+∞​2πδ(ω)ejωt dω=∫−∞+∞​δ(ω)ejωt dω=1 所以,1 和 2 π δ ( ω ) 2 \pi \delta(\omega) 2πδ(ω) 也构成了一个 Fourier 变换对. 同理, e j ω n t e^{j \omega_{n^t}} ejωnt​ 和 2 π δ ( ω − ω 0 ) 2 \pi \delta\left(\omega-\omega_0\right) 2πδ(ω−ω0​) 也构成了一个Fourier 变换对. 由此可得 ∫ − ∞ + ∞ e − j ω t   d t = 2 π δ ( ω ) , ∫ − ∞ + ∞ e − j ( ω − ω 0 ) t d t = 2 π δ ( ω − ω 0 ) . \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-j \omega t} \mathrm{~d} t=2 \pi \delta(\omega), \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-j\left(\omega-\omega_0 ) t\right.} \mathrm{d} t=2 \pi \delta\left(\omega-\omega_0\right) . ∫−∞+∞​e−jωt dt=2πδ(ω),∫−∞+∞​e−j(ω−ω0​)tdt=2πδ(ω−ω0​). 虽然 , 这两个积分在普遍意义下都是不存在的, 这里积分的意义仍是按(1.5) 式来定义的

频谱图指的是频率和振幅之间的关系图，即反映不同频率下的振幅是多少，如下图所示：

以T为周期的非正弦函数 f T ( t ) f_T(t) fT​(t)的频谱

傅里叶级数表示的是原函数被分成了不同频率的谐波，它的第n次谐波为: a n cos ⁡ ω n t + b n sin ⁡ ω n t = A n sin ⁡ ( ω n t + φ n ) a_n\cos\omega_n t+b_n\sin\omega_n t=A_n\sin(\omega_n t+\varphi_n) an​cosωn​t+bn​sinωn​t=An​sin(ωn​t+φn​) 振幅为： A n = a n 2 + b n 2 A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2} An​=an2​+bn2​ ​ 而 ∣ c n ∣ = ∣ c − n ∣ = 1 2 a n 2 + b n 2 |c_n|=|c_{-n}|=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2} ∣cn​∣=∣c−n​∣=21​an2​+bn2​ ​ 所以 A n = 2 ∣ c n ∣ ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯   ) A_{n}=2|c_{n}|(n=0,1,2,\cdots) An​=2∣cn​∣(n=0,1,2,⋯)

非周期函数

与前一种类型相区别，在上一节讲的积分公式中，非周期函数是把Fourier积分公式中的连加号转变成求和号，这里也类似，振幅的表示发生了变化。

F ( w ) F(w) F(w)被称为 f ( t ) f(t) f(t)的频谱函数，而频谱函数的模 ∣ F ( w ) ∣ |F(w)| ∣F(w)∣称为 f ( t ) f(t) f(t)的振幅频谱，由于这里 w w w是连续变化的，所以频谱为连续的，与上一种类型中的离散频谱不同，如下图所示。