阿基米德推算抛物线的面积

（2）设SM与抛物线的交点为M'。连接AM'，BM'。从而得到三角形ABM'。过点M'作抛物线的切线。它与切线SA和SB分别交于点A'和点B'。如下图所示。可以看出，三角形AA'M'也是阿基米德三角形（以两条切线A'A和A'M'为两边，以切点连线AM'为第三边）。过点A'作直线平行于x轴，与AM'相交于点C。则点C为AM'的中点。从而点A'为SA的中点。同理，点B'为SB的中点。从而A'B'为三角形SAB的与AB边平行的中位线，所以A'B'=AB/2，同时点M'为中线SM的中点。所以，我们可以得出，三角形SA'B'的面积等于三角形M'AB的面积的二分之一。这点很重要。下面的证明过程都要用到这一点。

（3）在阿基米德三角形AA'M'中，设中线A'C与抛物线的交点为C'。连接AC'，连接M'C'，得到三角形AC'M'，如下图所示。过点C'作抛物线的切线A"C"。类似前面的论述，可以得出，三角形AC'M'的面积与三角形A'A"C"的面积的比也为2:1。同理可得三角形BD'M'的面积与三角形B'B"D"的面积的比也为2:1。

（4）从而，上图中红色区域的面积与蓝色区域的面积的比为2:1（三组面积为2:1的区域，相加后仍保持这个比例）。在这两块区域之间留有空白区域，是四个更小的三角形，它们都是阿基米德三角形。再把它们逐个按照上面的方法继续切分，这样无限进行下去，显然，在极限情况下，中间的空白区域越来越小，最后就成为即无宽度也无面积的线，它就是抛物线位于三角形SAB内部的那部分曲线。它把阿基米德三角形SAB分割成2:1的两部分，其中位于抛物线内侧的区域的面积占2份。也就是说，位于抛物线内侧的区域的面积占整个阿基米德三角形面积的三分之二。

（5）上面所述非常漂亮，一下就得出结论。而阿基米德实际上是使用了等比数列求和公式，他精确计算出了这个面积为三角形面积的三分之二。这个等比数列是一个首项为Δ/2（Δ为三角形SAB的面积），公比为1/4的无穷等比数列的和。即

(Δ/2)+(Δ/2)×(1/4)+(Δ/2)×(1/4)×(1/4)+···

=(Δ/2)×(1+1/4+1/16+···)

=(Δ/2)×(4/3)

=(2/3)Δ

（6）最后归结到计算阿基米德三角形SAB的面积，这就简单多了。这里不具体陈述了。返回搜狐，查看更多