如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原． (1)当x=0时，折痕EF的长为　3　；当点E与点A重合时，折痕EF的长为　　； (2)请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长； (3)令EF2=y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关

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如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原． (1)当x=0时，折痕EF的长为　3　；当点E与点A重合时，折痕EF的长为　　； (2)请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长； (3)令EF2=y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关

2023-06-05 19:05| 来源: 网络整理| 查看: 265

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8、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原．

(1)当x=0时，折痕EF的长为　3　；当点E与点A重合时，折痕EF的长为　　；

(2)请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；

(3)令EF2=y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式．当y取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由．温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！

考点：翻折变换(折叠问题)；二次函数综合题；相似三角形的性质．专题：代数几何综合题；压轴题．分析： (1)当x=0时，点A与点P重合，则折痕EF的长等于矩形ABCD中的AB，当点E与点A重合时，折痕是一个直角的角平分线，可求EF=

； (2)由题意可知，EF垂直平分线段DP，要想使四边形EPFD为菱形，则EF也应被DP平分，所以点E必须要在线段AB上，点F必须在线段DC上，即可确定x的取值范围．再利用勾股定理确定菱形的边长． (3)构造直角三角形，利用相似三角形的对应线段成比例确定y的值，再利用二次函数的增减性确定y的最大值．解答：解：(1)当x=0时，折痕EF=AB=3，当点E与点A重合时，折痕EF=