标准烛光（Standard candles）和宇宙距离阶梯（Cosmic distance ladder）

宇宙距离阶梯（cosmic distance ladder，也称为河外距离标度，extragalactic distance scale）是天文学家确定天体距离的一系列方法。只有那些距离地球“足够近”（大约一千秒差距（parsecs）内）的天体才能对天文物体进行直接距离测量。确定到更远物体的距离的技术都是基于在近距离工作的方法和在更远距离工作的方法之间的各种测量相关性。几种方法依赖于标准蜡烛，它是一种具有已知光度的天文物体。

阶梯类比的出现是因为没有一种单一的技术可以测量天文学中所有范围内的距离。相反，一种方法可用于测量附近的距离，第二种方法可用于测量附近到中间的距离，依此类推。阶梯的每个梯级提供的信息可用于确定下一个更高梯级的距离。

在阶梯的底部是基本的距离测量，其中距离是直接确定的，没有关于所讨论物体的性质的物理假设。恒星位置的精确测量是天体测量学的一部分。

直接距离测量基于天文单位（Astronomical unit，AU），它被定义为地球和太阳之间的平均距离。开普勒定律提供了围绕太阳运行的物体轨道大小的精确比率，但没有提供对轨道系统整体规模的测量。雷达用于测量地球轨道和第二个物体的轨道之间的距离。根据该测量值和两个轨道大小的比率，可以计算出地球轨道的大小。已知地球轨道的绝对精度为几米，相对精度为千亿分之一（ 1 × 1 0 − 11 1 \times 10^{-11} 1×10−11 )。

从历史上看，金星凌日的观测对于确定 AU 至关重要。在 20 世纪上半叶，小行星的观测也很重要。目前，使用雷达测量到金星和其他附近行星和小行星的距离，并通过太阳系跟踪行星际飞船绕太阳运行的轨道，可以高精度地确定地球的轨道。

最重要的基本距离测量来自三角视差。随着地球绕太阳运行，附近恒星的位置似乎会在更远的背景下略微移动。这些位移是等腰三角形中的角度， 2  AU 2\ \text{AU} 2 AU（地球绕太阳轨道的极端位置之间的距离）构成三角形的底边，到恒星的距离是等长的长边。即使对于最近的恒星，偏移量也非常小，对于距离为 1秒差距（3.26光年）的物体 测量为 1角秒)，然后随着距离的增加角度量减小。天文学家通常以秒差距（视差角秒）为单位表示距离；光年用于大众媒体。

由于恒星距离越远视差越小，因此只能测量距离足够近且视差大于测量精度几倍的恒星。例如，在 1990 年代，Hipparcos 任务以大约 1毫秒的精度获得了超过 10 万颗恒星的视差，为数百秒差距内的恒星提供了有用的距离。哈勃望远镜 WFC3 现在有可能提供 20 到 40 微弧秒的精度，为少量恒星提供高达 5000 秒差距（ 16 , 000   l y 16,000\ \mathrm{ly} 16,000 ly）的可靠距离测量。2018 年，来自 Gaia 太空任务的 Data Release 2 提供了与大多数亮度超过 15 等的恒星类似的准确距离。

恒星相对于太阳的速度会导致适当的运动（横穿天空）和径向速度（朝向或远离太阳的运动）。前者是通过绘制恒星多年来的位置变化来确定的，而后者来自测量恒星光谱沿视线运动引起的多普勒频移。对于具有相同光谱类别和相似星等范围的一组恒星，可以从相对于它们的径向速度的自行的统计分析中得出平均视差。这种统计视差方法可用于测量超过 50 秒差距的亮星和巨变星的距离，包括造父变星和天琴座 RR 变星。

太阳在太空中的运动提供了更长的基线，这将提高视差测量的准确性，称为长期视差。对于银河系中的恒星来说，这对应于每年 4 AU的平均基线，而对于晕星来说，基线是每年 40 AU。几十年后，基线可能比用于传统视差的地球-太阳基线大几个数量级。然而，长期视差引入了更高水平的不确定性，因为观测恒星的相对速度是一个额外的未知数。应用于多星样本时，可以降低不确定性；不确定性与样本量的平方根成反比。

移动星团视差是一种技术，其中可以使用附近星团中单个恒星的运动来找到到星团的距离。只有疏散星团足够接近才能使该技术有用。尤其是 Hyades 获得的距离在历史上一直是距离阶梯中的重要一步。

其他单个对象可以在特殊情况下对其进行基本距离估计。如果随着时间的推移可以观察到气体云（如超新星遗迹或行星状星云）的膨胀，则可以估计到该云的膨胀视差距离。然而，这些测量受到物体与球形度偏差的不确定性的影响。既是视觉双星又是光谱双星的双星也可以通过类似的方式估计它们的距离，并且不受上述几何不确定性的影响。这些方法的共同特点是角运动的测量与绝对运动的测量相结合。速度（通常通过多普勒效应获得）。距离估计来自计算物体必须走多远才能使其观察到的绝对速度与观察到的角运动一起出现。

特别是膨胀视差可以为非常远的物体提供基本距离估计，因为超新星喷射物具有大的膨胀速度和大尺寸（与恒星相比）。此外，可以使用可以测量非常小的角运动的无线电干涉仪来观察它们。这些结合起来为其他星系中的超新星提供了基本的距离估计。虽然很有价值，但这种情况非常罕见，因此它们作为距离阶梯的重要一致性检查，而不是单独的主力步骤。

几乎所有用作物理距离指示器的天文物体都属于具有已知亮度的类别。通过将此已知光度与物体观察到的亮度进行比较，可以使用平方反比定律计算到物体的距离。这些已知亮度的物体被称为标准蜡烛（Standard candles），由 Henrietta Swan Leavitt （亨丽爱塔·勒维特）创造。

物体的亮度可以用它的绝对大小来表示。这个量是从 10 秒差距（parsecs，表示天文距离的单位）的距离看它的光度的对数得出的。视星等（apparent magnitude），即观察者所看到的星等（使用称为辐射热计（bolometer）的仪器），可以测量并与绝对星等（absolute magnitude）一起使用，以计算到物体的距离 d d d，单位为秒差距（parsecs），如下所示：

5 ⋅ log ⁡ 10 d = m − M + 5 5 ⋅ log ⁡ 10 d = m − M + 5 {\displaystyle 5\cdot \log _{10}d=m-M+5}{\displaystyle 5\cdot \log _{10}d=m-M+5} 5⋅log10​d=m−M+55⋅log10​d=m−M+5

或者

d = 1 0 ( m − M + 5 ) / 5 {\displaystyle d=10^{(m-M+5)/5}} d=10(m−M+5)/5

其中 m m m 是视星等， M M M 是绝对星等。为了准确，两个星等必须在相同的频带内，并且在径向上不能有相对运动。需要一些校正星际消光（interstellar extinction）的方法，这也会使物体看起来更暗、更红，尤其是当物体位于尘埃或气态区域内时。一个物体的绝对星等和视星等之间的差异称为它的距离模数（distance modulus），天文距离，尤其是星系间的距离，有时会以这种方式制成表格。

标准烛光有下列这些类型：

在星系天文学，X-射线爆发（中子星表面的热核闪光）也可以作为标准烛光。有时候观测到的X-射线爆发可以显示谱线而透漏出爆发源的半径。 因此，X-射线爆发通量的峰值应该对应于爱丁顿光度，就可以据以计算出中子星的质量（通常可以先假定是1.5太阳质量）。这种方法可以测量一些低质量X射线联星的距离。低质量X-射线双星在可见光的光度非常黯淡，使距离的测量格外困难。

对标准烛光的主要困难问题是他们有多标准，例如，所有的观测都显示在相同距离上的Ia超新星有相同的亮度（在经过光度曲线的校正之后），但是并不知道他们为何会有相同的亮度，以及遥远距离上的Ia超新星和邻近的Ia超新星在性质上不同的机率有多少。

在使用造父变星测量距离的历史上，这不单纯是一个哲学上的争论。在1950年代，沃尔特·巴德发现在较近的距离内，被用于校对标准烛光的的造父变星，与用于测量邻近星系距离的造父变星是不同型态的。邻近的造父变星是第一星族的恒星，比邻近星系的第二星族含有较多的金属（重元素）。结果是，银河系的直径、球状星团和邻近星系的距离都必须加倍，因为第二星族的造父变星实际上是比较亮的。

任何类别的标准蜡烛都存在两个问题。主要的是校准，即确定蜡烛的绝对大小。这包括足够好地定义类，以使成员可以被识别，并找到该类中足够多的具有已知距离的成员，以便以足够的准确度确定它们的真实绝对大小。第二个问题在于识别类的成员，而不是在不属于该类的对象上错误地使用标准烛光校准。在极端距离处，这是人们最希望使用距离指示器的地方，这种识别问题可能非常严重。

标准蜡烛的一个重要问题是它们有很多不同标准。例如，所有观测似乎都表明已知距离的 Ia 型超新星具有相同的亮度（通过光曲线的形状进行校正）。下面讨论亮度相近的基础。然而，遥远的 Ia 型超新星与附近的 Ia 型超新星可能具有不同的性质。Ia 型超新星的使用对于确定正确的宇宙学模型至关重要。如果 Ia 型超新星的性质在很远的距离上确实不同，即如果将它们的校准外推到任意距离是无效的，那么忽略这种变化可能会危险地偏向宇宙学参数的重建，特别是物质密度参数的重建。

从使用造父变星（Cepheid variables）进行距离测量的历史可以看出，这不仅仅是一个哲学问题。在 1950 年代，沃尔特·巴德 (Walter Baade) 发现用于校准标准烛光的附近造父变星与用于测量附近星系距离的造父变星类型不同。附近的造父变星是族群 I 星，其金属含量远高于遥远的族群 II 星。结果，第 II 族恒星实际上比想象的要亮得多，并且在校正后，这具有使与球状星团、附近星系和银河系直径的距离增加一倍的效果。

让我们从一个故事讲起。 1920 年，美国政府在马萨诸塞州的剑桥郡搞了一次人口普查。一个人口普查员走进了一个比较贫穷的社区，然后挨家挨户调查这里住了多少人，以及这些人都从事什么职业。 他敲开了社区中一户人家的房门，看到了一对相依为命的母女。那个女儿是一个聋女，费了好大劲才搞清楚这个人口普查员的来意。当被问到自己职业的时候，她的回答是“科学家”。 这个普查员当时就笑场了。在 20 世纪初的美国，科学家是男性的专属领地，几乎没有女性可以拿到博士学位。所以他根本无法相信，一个住在贫穷社区的聋女竟然能当科学家。

她叫亨丽爱塔·勒维特，现代宇宙学之母。她是历史上唯一一个能被称为某个大学科之母的人。

1868 年，勒维特出生在美国马萨诸塞州的一个牧师家庭。20 岁那年，她通过了严苛的考试，考入了拉德克利夫女子学院（著名的七姐妹学院之一，后来被哈佛大学合并）。1892 年，勒维特顺利毕业，拿到了自己的学士学位。随后按照当时的传统，她坐船到了欧洲，开始了自己的毕业旅行。

但天有不测风云。在这场旅行中，一场突如其来的大病损坏了她的视力和听力。虽然她的视力后来得到了好转，但是她的听力却每况愈下，直至最终失聪。在此后近 30 年的时间里，她一直都处于病魔缠身的状态。

旅行归来后，勒维特决定继续攻读天文学硕士学位。她于 1893 年加入了爱德华·皮克林掌管的哈佛大学天文台，成为一名“哈佛计算员”。

但不幸的是，勒维特的健康状况严重拖累了她的学业。由于体弱多病，勒维特隔三岔五就得请病假，这让她的科研工作变得支离破碎。当然，这也让她的导师皮克林相当不满。

1896 年，勒维特意识到自己已经不可能完成学业，无奈之下，她选择了放弃，离开了哈佛大学天文台，这一走就是 6 年。

6 年后，也就是 1902 年，勒维特给皮克林写了一封信。在信中，勒维特提到由于听力障碍，她已经无法再胜任其他工作，因此想申请重回哈佛天文台。皮克林同意了。但这回，皮克林学聪明了，没让勒维特参与天文台最重要的恒星分类工作，而派她一个人去研究造父变星。

在 20 世纪初，人类连最简单的天上恒星有哪些种类都搞不清楚，就更别提异常复杂的变星问题了。在这种情况下，派一个人单枪匹马地研究造父变星，无异于流放边疆。

让我们暂停一下这部关于勒维特的电影，用心去感受一下她重返哈佛大学天文台时的处境。病痛，失聪，迫于生计只好重返自己放弃硕士学位的伤心地，然后被不待见自己的老板发配到一片以前根本没人踏足的科学荒原。恐怕很少有人能走出这样的绝境。

但这是我们与平凡女子亨丽爱塔·勒维特的最后一面。此后发生的事，传奇程度堪比摩西用手杖分开红海。

从 1904 年开始，勒维特就以惊人的速度在麦哲伦云中不断找到新的造父变星。她找得实在太快，以至于有天文学家专门致信皮克林：“勒维特小姐是寻找变星的高手。我们甚至来不及记录她的新发现。”

1908 年，勒维特在《哈佛天文台年鉴》上发表了一篇论文，宣布自己在麦哲伦云中总共找到了 1777 颗造父变星（在此前的 100 多年的时间里，人们找到的造父变星的总数只有区区几十颗）。这个惊人的数字立刻在天文学界引起了轰动，甚至得到了著名的《华盛顿邮报》的报道。

但这个引起轰动的发现造父变星的数字，与这篇论文中最有价值的部分相比，根本不值一提。

在这篇论文的结尾，勒维特挑选了 16 颗位于小麦哲伦云中的造父变星，在一张表格里列出了它们的光变周期（完成一轮明暗交替的时间）和视星等。对于这张表格，她留下了一句这样的评论：“这值得关注，变星越亮则其光变周期就越长。” 4 年后，也就是 1912 年，勒维特对这个结论进行了完善。她挑选了 25 颗位于小麦哲伦云中的造父变星，把它们画在了一张以亮度为X轴，以光变周期为Y轴的图上。结果，这 25 颗造父变星恰好排成了一条直线。勒维特据此断言，“造父变星的亮度与其光变周期成正比”。

为了理解这句看似平淡无奇的话在天文史上的分量，你可以想象一片被冰封了不知多少岁月的荒原，由于这句蕴含着巨大魔力的咒语，在眨眼之间就绽放出数以亿计的美丽花朵。 这句话后来被称为勒维特定律。正是这个石破天惊的勒维特定律，开启了现代宇宙学的大门。

你可能会觉得有些不知所云了：“为什么如此简单的定律能开创一个全新的学科呢？”答案是，它提供了一种全新的距离测量的方法，那就是著名的标准烛光。

为了介绍用标准烛光测量距离的基本原理，让我们从一个在日常生活中颇为常见的现象说起。一根蜡烛，放在近处看就亮，放在远处看就暗。这是因为，我们所看到蜡烛的亮度取决于由蜡烛发出并射入我们眼中的光子数目。射入的光子数越多，蜡烛看起来就越亮；反之，蜡烛看起来就越暗。

如图所示，一根绝对亮度保持不变的蜡烛，它所发出的光子总数也保持不变。这些光子会呈球形向外扩散。所以在某个地方，单位面积上接收到的光子数，与此处离蜡烛的距离的平方成反比。这意味着，我们在某个地方看到的蜡烛的视亮度，与此处离蜡烛的距离的平方成反比。举个例子，如果距离扩大4 倍，蜡烛的视亮度就会减小到原来的 1/16。

这样一来，我们就可以利用蜡烛测量距离了：首先，在一个距离比较近的地方放一根蜡烛，并测量它的距离和视亮度。然后，在一个距离特别远的地方放另一根绝对亮度相同的蜡烛，并测量其视亮度。最后，利用视亮度与距离平方成反比的关系，就能算出那个特别远的距离了。

用蜡烛丈量宇宙这个用蜡烛测量距离的原理，在天上同样适用。为此，需要在天上找到一种特殊的天体，能同时满足以下两个条件：

①它特别明亮，即使相距甚远也能看到； ②它的光学性质稳定，绝对亮度固定不变。如果能找到这样的天体，我们就可以把它当成蜡烛，来测量宇宙学尺度的距离。这种能当蜡烛用的特殊天体，就是所谓的标准烛光。

知道了标准烛光的概念，下面我们就可以来讲讲勒维特定律的意义所在了。由于勒维特挑选的那些造父变星全都位于小麦哲伦云内，可以近似认为它们与地球的距离都相等。因此，只要它们的视亮度相等，它们的绝对亮度就一定相等。 勒维特定律说的是，造父变星的绝对亮度与其光变周期成正比。这意味着，只要选择光变周期完全相同的造父变星，就能得到一批绝对亮度完全相同的天体。

所以勒维特定律意味着，造父变星满足标准烛光的两大条件，是一种真正意义上的标准烛光。这也是人类历史上发现的第一种标准烛光。

标准烛光的发现，提供了一种全新的测量遥远宇宙学距离的方法。或许你依然有疑问：“为什么一种新距离测量方法的发现，就能开创现代宇宙学这门全新的学科？”事实上，正是这个发现，动摇了哥白尼日心说。

关于勒维特，让我们再多说几句。非常悲哀的是，勒维特的故事并没有一个圆满的结局。

发现造父变星是标准烛光后不久，勒维特就因为胃部手术而再次离职。等她回来的时候，皮克林已经给她安排了一份新工作：测量北极星序，即分析北极星附近的 96 颗恒星的光谱。这是皮克林多年来最中意也最想完成的课题。

对一个管理者来说，派自己手下最有能力的员工去应付自己觉得最艰巨的挑战，是一件再合理不过的事情。但对勒维特这种级别的天文学家而言，这个安排可谓荒谬透顶，相当于强迫正值当打之年的迈克尔·乔丹放弃自己的篮球生涯，去参加一个不入流的棒球联赛。更残酷的是，身在屋檐下的勒维特根本没有选择的权力。从那以后，她就再也没能回到标准烛光的研究。

而皮克林这个自私的决定，也让全世界关于变星的研究倒退了好几十年。

讽刺的是，尽管凭一己之力开创了一门后来养活了成千上万名博士的全新学科，勒维特本人却没能拿到一张博士文凭。很多年后，她依然是一个薪水只有男人一半的哈佛计算员。 1921 年，一直与母亲相依为命的勒维特又病了。这回是无药可救的癌症。当年 12 月 12 日，她在一个雨夜中离去。在遗嘱中，她把自己所有的财产都留给了自己的母亲。这些遗产价值总计 315 美元，只够买 8 条地毯。

去世后，勒维特被葬在了自己家族的墓地。她甚至无法拥有一个自己单独的墓碑，只能被迫和十几个亲戚挤在一起。这个墓碑很小，位置只够写下她的姓名、生日和忌日。

这是标准烛光的发现者、哥白尼日心说的掘墓人、现代宇宙学之母、一位伟大的女科学家最后的结局。100 多年过去了，现在亨丽爱塔·勒维特这个名字已经快被世人遗忘在历史的尘埃里。但我依然想写一篇文章，来纪念这位非凡女性经历的种种苦难和荣耀。尽管病痛、失聪、贫穷、孤独、被摆布、被轻视、被遗忘，她依然是照亮整个宇宙的永世不灭的烛火。

源自致密双星系统（如中子星或黑洞）的吸气相的引力波具有有用的特性，即以引力辐射形式发射的能量完全来自该对的轨道能量，因此它们的轨道收缩是可以直接观察到的随着发射的引力波频率的增加。对领先顺序， f f f 频率变化率：

d f d t = 96 π 8 / 3 ( G M ) 5 3 f 11 3 5   c 5 {\displaystyle {\frac {\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}}={\frac {96\pi ^{8/3}(G{\mathcal {M}})^{\frac {5}{3}}f^ {\frac {11}{3}}}{5\,c^{5}}}} dtdf​=5c596π8/3(GM)35​f311​​

其中 G G G 是引力常数， c c c是光速，并且 M {\mathcal {M}} M 是一个单一的（因此可计算的）数，称为系统的啁啾质量（chirp mass），质量的组合 ( m 1 , m 2 ) (m_{1},m_{2}) (m1​,m2​) 两个对象：

M = ( m 1 m 2 ) 3 / 5 ( m 1 + m 2 ) 1 / 5 {\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5} }}} M=(m1​+m2​)1/5(m1​m2​)3/5​

通过观察波形，可以计算出啁啾质量，进而计算出引力波的功率（能量发射率）。因此，这种引力波源是已知响度的标准警笛。

就像标准蜡烛一样，给定发射和接收的幅度，平方反比定律确定到源的距离。然而，标准蜡烛存在一些差异。引力波不是各向同性地发射的，但测量波的偏振提供了足够的信息来确定发射角度。引力波探测器也有各向异性的天线方向图，因此需要天空上源相对于探测器的位置来确定接收角度。通常，如果一个波被不同位置的三个探测器组成的网络检测到，该网络将测量到足够的信息来进行这些校正并获得距离。同样与标准蜡烛不同，引力波不需要针对其他距离测量进行校准。距离的测量当然需要引力波探测器的校准，但距离基本上是引力波干涉仪中使用的激光波长的倍数。

除了探测器校准之外，还有其他一些因素会限制此距离的准确性。幸运的是，引力波不会因为介入的吸收介质而消失。但它们受到引力透镜的影响，就像光一样。如果一个信号被强透镜化，那么它可能会被接收为多个事件，在时间上是分开的（例如，类星体的多个图像的模拟）。较不易于辨别和控制的是弱透镜效应，其中信号通过空间的路径受到许多小放大和缩小事件的影响。这对于源自宇宙学红移的信号很重要大于 1。最后，如果几乎正面观察二元系统，检测器网络很难准确测量信号的极化；这样的信号在距离测量中会遭受明显更大的误差。不幸的是，双星在垂直于轨道平面的方向上辐射最强，因此正面信号本质上更强，也是最常观察到的。

如果双星由一对中子星组成，它们的合并将伴随着千新星/超新星爆炸，这可能使电磁望远镜能够准确识别位置。在这种情况下，宿主星系的红移可以确定哈勃常数 H 0 H_{0} H0​。GW170817就是这种情况，它被用来进行第一次这样的测量。即使不能为一组信号识别出电磁对应物，也可以使用统计方法来推断 H 0 H_{0} H0​。

另一类物理距离指示器是标准尺。2008 年，星系直径被提出作为宇宙学参数确定的可能标准尺。最近，早期宇宙中重子声学振荡（baryon acoustic oscillations，BAO）印记的物理尺度已被使用。在早期宇宙中（重组之前) 重子和光子相互散射，形成紧密耦合的流体，可以支持声波。这些波源于原始密度扰动，并以可以从重子密度和其他宇宙学参数预测的速度传播。这些声波在重组之前可以传播的总距离决定了一个固定的尺度，它在重组后只是随着宇宙的膨胀而膨胀。因此，BAO 提供了一个标准尺，可以在星系调查中根据重子对星系集群的影响进行测量。该方法需要进行广泛的星系调查才能使这个尺度可见，但已经以百分比级精度测量（参见重子声学振荡）。尺度确实取决于重子和物质密度等宇宙学参数，以及中微子的数量，因此基于 BAO 的距离比基于局部测量的距离更依赖于宇宙学模型。

光回波也可以用作标准尺，尽管正确测量源几何形状具有挑战性。

除了少数例外，基于直接测量的距离只能达到大约一千秒差距，这只是我们银河系的一小部分。对于超出此范围的距离，测量取决于物理假设，即断言一个人识别出所讨论的对象，并且对象的类别足够同质，其成员可以用于有意义的距离估计。

物理距离指标，用于逐渐变大的距离尺度，包括：

当根据恒星的光谱分类绘制一组恒星的绝对星等时，在Hertzsprung-Russell 图中，可以发现与恒星的质量、年龄和组成有关的演化模式。特别是，在它们的氢燃烧期间，恒星沿着图中的一条曲线分布，称为主序星。通过测量恒星光谱中的这些特性，可以确定主序星在 H-R 图上的位置，从而估计出恒星的绝对星等。在校正了由于气体和尘埃引起的 星际消光后，将该值与视星等进行比较可以确定近似距离。

在一个受引力束缚的星团中，如毕星团，恒星形成的年龄大致相同，距离也相同。这允许相对准确的主序列拟合，提供年龄和距离确定。

河外距离尺度是当今天文学家用来确定我们银河系以外宇宙体距离的一系列技术，传统方法不容易获得。一些程序利用这些天体的属性，例如恒星、球状星团、星云和整个星系。其他方法更多地基于诸如整个星系团之类的事物的统计数据和概率。

由 Olin Wilson 和 MK Vainu Bappu 于 1956 年发现，Wilson-Bappu 效应利用了称为光谱视差的效应。许多恒星在它们的光谱中都有特征，例如钙K线，表明它们的绝对大小。然后可以使用距离模数从其视星等计算到恒星的距离。

这种寻找恒星距离的方法有很大的局限性。谱线强度的校准精度有限，需要对星际消光进行校正。虽然理论上这种方法能够为高达 7 兆秒差距 (Mpc) 的恒星提供可靠的距离计算，但它通常只用于数百千秒差距 (kpc) 的恒星。

在威尔逊-巴普效应之外，下一个方法依赖于经典造父变星的周期-光度关系。以下关系可用于计算到银河系和河外经典造父变星的距离：

5 log ⁡ 10 d = V + ( 3.34 ) log ⁡ 10 P − ( 2.45 ) ( V I ) + 7.52 {\displaystyle 5\log _{10}{d}=V+(3.34)\log _{10}{P}-(2.45)(VI)+7.52} 5log10​d=V+(3.34)log10​P−(2.45)(VI)+7.52 5 log ⁡ 10 d = V + ( 3.37 ) log ⁡ 10 P − ( 2.55 ) ( V I ) + 7.48 {\displaystyle 5\log _{10}{d}=V+(3.37)\log _{10}{P}-(2.55)(VI)+7.48} 5log10​d=V+(3.37)log10​P−(2.55)(VI)+7.48

有几个问题使造父变星作为标准蜡烛的使用变得复杂，并引起了激烈的争论，其中主要是：各种通带中周期-光度关系的性质和线性，以及金属丰度对这些关系的零点和斜率的影响，以及光度污染（混合）和不断变化的（通常未知的）消光定律对造父变星距离的影响。

这些未解决的问题导致哈勃常数的引用值介于 60   k m / s / M p c 60\ \mathrm{km/s/Mpc} 60 km/s/Mpc 和 80   k m / s / M p c 80\ \mathrm{km/s/Mpc} 80 km/s/Mpc 之间。解决这种差异是天文学中最重要的问题之一，因为通过提供哈勃常数的精确值，可以更好地限制宇宙的一些宇宙学参数。

造父变星是埃德温·哈勃在 1923 年得出结论的关键工具，即M31（仙女座）是一个外部星系，而不是银河系内的一个较小的星云。他能够计算出 M31 到 285   K p c 285\ \mathrm{Kpc} 285 Kpc 的距离，今天的值是 770 Kpc。

到目前为止，我们发现，狮子座中的一个螺旋星系 NGC 3370 包含迄今为止发现的最远的造父变星，距离为 29   M p c 29\ \mathrm{Mpc} 29 Mpc。造父变星绝不是完美的距离标记：在附近的星系中，它们的误差约为 7%，最远的星系误差高达 15   % 15\ \% 15 %。

NGC 4526星系中的 SN 1994D（左下方的亮点） 。图片由美国宇航局、欧空局、哈勃重点项目团队和高 Z 超新星搜索团队提供 有几种不同的方法可以使用 超新星来测量河外距离。

我们可以假设超新星以球对称的方式膨胀。如果超新星足够近，以至于我们可以测量其光球的角度范围 θ ( t ) \theta{(t)} θ(t)，我们可以使用方程

ω = Δ θ Δ t {\displaystyle \omega ={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}} ω=ΔtΔθ​

其中ω是角速度，θ是角范围。为了获得准确的测量结果，有必要进行两次相隔时间Δt的观测。随后，我们可以使用

  d = V e j ω   ,   d = V e j ω   , {\displaystyle \ d={\frac {V_{ej}}{\omega }}\,,}\ d={\frac {V_{ej}}{\omega }}\,,  d=ωVej​​, d=ωVej​​,

其中 d d d 是到超新星的距离， V e j V_{ej} Vej​ 是超新星喷出物的径向速度（如果球对称 ，可以假设 V e j V_{ej} Vej​ 等于 V θ V_{\theta} Vθ​ ）。

这种方法只有在超新星足够接近以能够准确测量光球时才有效。同样，膨胀的气体壳实际上不是完美的球形，也不是完美的黑体。星际消光也会阻碍光球层的准确测量。核心坍缩超新星进一步加剧了这个问题。所有这些因素都会导致高达 25% 的距离误差。

Ia 型超新星是确定河外距离的最佳方法之一。当双白矮星开始从其伴星吸积物质时，就会发生 Ia。随着白矮星获得物质，最终它达到了它的钱德拉塞卡极限 1.4 M ⊙ 1.4M_{\odot } 1.4M⊙​。

一旦到达，恒星就会变得不稳定并发生失控的核聚变反应。因为所有 Ia 型超新星爆炸的质量大致相同，所以它们的绝对大小都是相同的。这使得它们作为标准蜡烛非常有用。所有 Ia 型超新星都有标准的蓝色和视觉星等

M B ≈ M V ≈ − 19.3 ± 0.3 M_{B}\approx M_{V}\approx -19.3\pm 0.3 MB​≈MV​≈−19.3±0.3

因此，在观测 Ia 型超新星时，如果能确定它的峰值大小，就可以计算出它的距离。本质上没有必要直接捕获峰值大小的超新星；使用多色光变曲线形状法（MLCS），光变曲线的形状（在初始爆炸后的任何合理时间拍摄）与一组参数化曲线进行比较，这些曲线将确定最大亮度下的绝对幅度。这种方法还可以从尘埃和气体中实现星际消光/变暗。

类似地，拉伸方法将特定的超新星强度光曲线拟合到模板光曲线。该模板与不同波长的多个光曲线（MLCS）不同，它只是一个已及时拉伸（或压缩）的光曲线。通过使用这个 Stretch Factor，可以确定峰值幅度。

使用 Ia 型超新星是最准确的方法之一，特别是因为超新星爆炸可以在很远的地方看到（它们的光度与它们所在的星系相媲美），比造父变星更远（远 500 倍）。已经花了很多时间来改进这种方法。当前的不确定性仅接近 5   % 5\ \% 5 %，对应的不确定性仅为 0.1 0.1 0.1 量级。

新星可以以与超新星大致相同的方式用于推导河外距离。新星的最大星等与其可见光下降两个星等的时间之间存在直接关系。这种关系显示为：

  M V max ⁡ = − 9.96 − 2.31 log ⁡ 10 x ˙ {\displaystyle \ M_{V}^{\max }=-9.96-2.31\log _{10}{\dot {x}}}  MVmax​=−9.96−2.31log10​x˙

其中 x ˙ {\dot {x}} x˙ 是新星 mag 的时间导数，描述了前 2 个星等的平均下降速度。

新星褪色后，它们与最明亮的造父变星一样亮，因此这两种技术的最大距离大致相同： ∼ 20   M p c \sim20\ \mathrm{Mpc} ∼20 Mpc。此方法中的误差产生的不确定性大小约为 ± 0.4 \pm0.4 ±0.4

根据比较遥远星系的球状星团（位于星系晕中）的光度与室女座星团的光度的方法，球状星团光度函数具有约 20   % 20\ \% 20 %（或 0.4 0.4 0.4 等）的距离不确定性。

美国天文学家威廉·阿尔文·鲍姆首先尝试使用球状星团来测量遥远的椭圆星系。他比较了室女座 A 星系和仙女座星系中最亮的球状星团，假设两个星系团的光度相同。知道到仙女座的距离后，鲍姆假设了直接相关性并估计了处女座 A 的距离。

Baum 只使用了一个球状星团，但单个的形成通常是较差的标准蜡烛。加拿大天文学家 René Racine 假设使用球状星团光度函数 (GCLF) 会产生更好的近似值。作为幅度函数的球状星团的数量由下式给出：

  Φ ( m ) = A e ( m − m 0 ) 2 / 2 σ 2 {\displaystyle \ \Phi (m)=Ae^{(m-m_{0})^{2}/2\sigma ^{2}}}  Φ(m)=Ae(m−m0​)2/2σ2

其中 m 0 m_{0} m0​ 是周转幅度， M 0 M_{0} M0​ 是处女座星团的幅度， σ \sigma σ 是离散度 ∼ 1.4 \sim 1.4 ∼1.4 等。

假设球状星团在宇宙中都具有大致相同的光度。没有适用于所有星系的通用球状星团光度函数。

与 GCLF 方法一样，类似的数值分析可用于遥远星系内的行星状星云。行星状星云光度函数（PNLF）由荷兰科尔和大卫詹纳在 1970 年代后期首次提出。他们认为所有行星状星云可能都具有相似的最大固有亮度，现在计算为 M = − 4.53 M = -4.53 M=−4.53。因此，这将使它们成为确定河外距离的潜在标准蜡烛。

天文学家乔治霍华德雅各比和他的同事后来提出，PNLF 函数等于：

  N ( M ) ∝ e 0.307 M ( 1 − e 3 ( M ∗ − M ) ) {\displaystyle \ N(M)\propto e^{0.307M}(1-e^{3(M^{*}-M)})}  N(M)∝e0.307M(1−e3(M∗−M))

其中 N(M) 是行星状星云的数量，绝对星等为 M。M* 等于星等最亮的星云。

以下方法处理星系的整体固有属性。这些方法虽然具有不同的误差百分比，但能够进行超过 100   M p c 100\ \mathrm{Mpc} 100 Mpc 的距离估计，尽管它通常更局部地应用。

表面亮度波动（SBF）方法利用了望远镜上 CCD 相机的使用。由于星系表面亮度的空间波动，这些相机上的一些像素会比其他像素捕捉到更多的星星。然而，随着距离的增加，画面会变得越来越平滑。对此的分析描述了像素到像素变化的幅度，这与星系的距离直接相关。

用于椭圆星系的 Sigma-D 关系（或 Σ-D 关系）将星系的角直径 (D) 与其速度色散联系起来。为了理解这种方法，准确描述 D D D 代表什么很重要。更准确地说，它是星系的角直径，表面亮度水平为 20.75 B-mag arcsec -2。这种表面亮度与星系与我们的实际距离无关。相反， D D D 与星系的距离成反比，表示为 d d d。因此，这种关系不使用标准蜡烛。相反， D D D 提供了一个标准的标尺。 D D D 和 Σ \Sigma Σ 之间的关系是

log ⁡ ( D ) = 1.333 log ⁡ ( Σ ) + C {\displaystyle \log(D)=1.333\log(\Sigma )+C} log(D)=1.333log(Σ)+C

其中 C C C 是一个常数，取决于到星系团的距离。

这种方法有可能成为银河距离计算器中最强的方法之一，甚至可能超过 Tully-Fisher 方法的范围。然而，到今天为止，椭圆星系还不够亮，无法通过使用造父变星等技术为这种方法提供校准。相反，校准是使用更粗略的方法完成的。

需要一系列距离指示器，即距离阶梯，来确定与其他星系的距离。原因是在这样的距离上足够亮到可以被识别和测量的物体非常罕见，以至于附近几乎没有或根本不存在，因此足够接近且具有可靠三角视差来校准指示器的示例太少了。例如，造父变星是附近螺旋星系的最佳指标之一，还不能仅通过视差来令人满意地校准，尽管盖亚太空任务现在可以权衡这个具体问题。由于不同的恒星种群通常没有所有类型的恒星，情况变得更加复杂。特别是造父变星是大质量恒星，寿命很短，所以它们只会在恒星最近形成的地方被发现。因此，因为椭圆星系通常早就不再有大规模的恒星形成，他们不会有造父变星。相反，必须使用起源于较老恒星群体的距离指标（如新星和 RR Lyrae 变量）。然而，天琴座 RR 变量的亮度不如造父变星，而且新星是不可预测的，需要一个密集的监测计划——以及该计划期间的运气——才能在目标星系中收集足够多的新星，以便进行良好的距离估计。

因为宇宙距离阶梯中越远的阶梯取决于更近的阶梯，越远的阶梯包括更近阶梯中误差的影响，包括系统和统计误差的影响。这些传播误差的结果意味着，天文学中的距离很少能达到与其他科学中的测量相同的精度水平，而且对于更遥远的物体类型，精度必然更差。

另一个问题，特别是对于最亮的标准蜡烛，是它们的“标准”：物体在其真实绝对大小上有多均匀。对于这些不同的标准蜡烛中的一些，同质性是基于关于恒星和星系的形成和演化的理论，因此在这些方面也存在不确定性。对于最明亮的距离指示器，Ia 型超新星，这种均匀性很差；然而，没有其他类别的物体亮度足以在如此远的距离上被检测到，因此该类别之所以有用，仅仅是因为没有真正的替代品。

哈勃定律的观测结果，距离与星系远离我们的速度（通常称为红移）之间的比例关系是宇宙距离阶梯的产物。埃德温哈勃观察到较暗的星系更红移。找到哈勃常数的值是许多天文学家数十年来工作的结果，他们既积累了星系红移的测量值，也校准了距离阶梯的阶梯。哈勃定律是我们用来估计类星体和遥远星系的距离的主要手段，在这些距离中无法看到单个距离指标。

王爽. 宇宙奥德赛：穿越银河系.

王爽. 现代宇宙学之母：出身贫苦的聋女，用烛火照亮宇宙

Cosmic distance ladder

维基百科: 标准烛光

wiki: Distance measure