4 严平稳序列及其遍历性

随机向量同分布是指其联合分布函数相同。

时间序列\(\{X_t\}\)与\(\{Y_t\}\)同分布， 当且仅当\(\forall n \in \mathbb N_+\)和 \(t_1, \ldots, t_n \in \mathbb Z\), \((X(t_1), \ldots, X(t_n))^T\)与\((Y(t_1), \ldots, Y(t_n))^T\)同分布。

严平稳： 时间序列\(\{X_t\}\)对\(\forall n \in \mathbb N_+\)和\(k \in \mathbb Z\)都有 \[ (X_1, X_2, \ldots, X_n)^T \text{ 和 } (X_{1+k}, X_{2+k}, \ldots, X_{n+k})^T \text{ 同分布}. \] 即分布平移不变，称\(\{X_t \}\)为严平稳时间序列。

若\(\{X_t \}\)严平稳， 对任多元函数 \(\phi(x_1, x_2, \ldots, x_m)\) 令 \[\begin{aligned} \{ Y_t = \phi(X_{t+1}, \ldots, X_{t+m}), \ t \in \mathbb Z \} \end{aligned}\] 则\(\{ Y_t \}\)仍是严平稳列。

严平稳与宽平稳关系：

时间序列一般只有一条轨道。 要用时间序列\(\{X_t\}\)的一次实现 \(x_1,x_2,...\)推断 \(\{X_t(\omega), t\in\mathbb N, \omega\in\Omega \}\)的统计性质. 遍历性可以保证从一条轨道可以推断整体的统计性质。

如果严平稳序列是遍历的, 从它的一次实现 \(x_1,x_2,...\) 就可以推断出这个严平稳序列的 所有有限维分布: \[\begin{aligned} & F(x_1,x_2,...,x_m) \\ =& P(X_1\leq x_1, X_2\leq x_2,...,X_m \leq x_m), \ \ m\in \mathbb N . \end{aligned}\] 有遍历性的严平稳序列被称作严平稳遍历序列.

严平稳遍历的严格定义依赖于用测度论叙述的保测变换、不变集、不变随机变量概念， 详见王梓坤《随机过程通论》第197–204页（北京师范大学出版社，1996）。

定理4.1 (遍历定理) 如果 \(\{X_t\}\)是严平稳遍历序列, 则有如下的结果:

强大数律: 如果 \(E|X_1|