5.3 导数与函数的单调性

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1 函数单调性与导数 在某个区间\((a ,b)\)内，若\(f'(x)>0\)，则函数\(y=f(x)\)在这个区间内单调递增； 若\(f'(x)0\)； 当\(x∈(-\dfrac{1}{2} ,\dfrac{1}{2})\)时，\(f'(x)0\)，\(g(x)\)在\((0 ,2)\)递增， 故\(g(x)1\)，则不等式\(e^x f(x)>e^x-1\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\). 【解析】设\(g(x)=e^x [f(x)-1]\)， 则\(g^{\prime}(x)=e^x [f(x)-1]+e^x f^{\prime} (x)\)\(=e^x [f(x)+f^{\prime}(x)-1]>0\)． 故\(g(x)\)在\(R\)上单调递增， 因为\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，所以\(f(0)=0\)， 所以\(g(0)=-1\)， 而不等式\(e^x f(x)>e^x-1⇒e^x [f(x)-1]>-1\)， 即\(g(x)>g(0)\)， 又\(∵g(x)\)在\(R\)上单调递增，\(∴x>0\)． 【点拨】 本题属于构造函数题型，如何构造呢？角度有二 （1） 从已知条件\(f(x)+f^{\prime}(x)>1⇒f(x)+f^{\prime} (x)-1>0\)入手， 思考\([某函数g(x)]^{\prime}=f(x)+f^{\prime}(x)-1\)， 这需要熟悉求导法则的逆运用，下表举例供参考(其中c是常数)： ①\(f^{\prime} (x)+h'(x)\)形式，构造函数\(g(x)=f(x)+h(x)+c\)； ②\(xf'(x)+f(x)\)形式，构造函数 \(g(x)=xf(x)+c\)； ③\(xf'(x)+nf(x)\)形式，构造函数\(g(x)=x^n f(x)+c\)； ④\(xf'(x)－f(x)\)形式，构造函数\(g(x)=\dfrac{f(x)}{x}+c\)； ⑤\(f^{\prime} (x)+f(x)\)形式，构造函数\(g(x)=e^x f(x)+c\)； ⑥\(f^{\prime} (x)-f(x)\)形式，构造函数\(g(x)=\dfrac{f(x)}{e^x} +c\)； 形式多样，不需要死记，要灵活运用，本题可利用第(5)个例子. （2）从求证入手，要求不等式\(e^x f(x)>e^x-1\)，变形得\(e^x [f(x)-1]+1>0\)，想到构造函数\(g(x)=e^x [f(x)-1]+1\)也不难.  

【典题4】 求函数\(f(x)=\dfrac{x^2-1}{2}-xlnx\)的单调区间. 【解析】函数\(f(x)\)的定义域是\((0 ,+∞)\)， \({\color{Red}{(注意定义域) }}\) 由\(f(x)=\dfrac{x^2-1}{2}-xlnx\)，得\(f'(x)=x-lnx-1\)， 令\(g(x)=x-lnx-1\)，则\(g'(x)=1-\dfrac{1}{x}\)， 令\(g'(x)>0\)，解得\(x>1\)， 令\(g'(x)0\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\) .  

2(★★) 已知\(x>0\)，\(a=x\)，\(b=x-\dfrac{x^2}{2}\)，\(c=ln(1+x)\)，则(　　) A．\(c