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前言
正五边形的尺规作图方法在初中是个很经典的题目。 网络画板演示尺规作图 GeoGebra演示尺规作图 尺规作图原理说明法1:首先计算一个要用到的函数值, \(\sin 18^{\circ}=\cos 72^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\),具体过程详解如下: 由三倍角公式,\(sin3\theta=3sin\theta cos^2\theta-sin^3\theta\),二倍角公式 \(cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta\), 又由 \(\sin54^{\circ}=\cos36^{\circ}\),即 \(\sin3\times18^{\circ}=\cos2\times18^{\circ}\) 即得 \(3sin18^{\circ}cos^218^{\circ}-sin^318^{\circ}=cos^218^{\circ}-sin^218^{\circ}\). 整理得到,\(4sin^318^{\circ}-2sin^218^{\circ}-3sin18^{\circ}+1=0\), 用 试商法 尝试分解\(x=1\)为其一个根, 故可以分解为\((sin18^{\circ}-1)(4sin^218^{\circ}+2sin18^{\circ}-1)=0\), \(sin18^{\circ}=1\)舍去,由\(4sin^218^{\circ}+2sin18^{\circ}-1=0\), 得到\(sin18^{\circ}=\cfrac{-2\pm \sqrt{4+4\times4}}{2\times 4}=\cfrac{-1\pm \sqrt{5}}{4}\), 舍去负值,得到\(sin18^{\circ}=\cos72^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\) . 其次、为说明按照上述的方法做出来的是正五边形,我们只要重点说明\(\angle DOE\)\(=\)\(72^{\circ}\),也就是其余弦值为 \(\cos72^{\circ}\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)即可 . 令上图中圆的半径为 \(r=2\),则 \(OB=1\), \(OD=2\), 则 \(BD=\sqrt{5}\),则 \(BC=\sqrt{5}\),则 \(CO=\sqrt{5}-1\),由勾股定理可知,\(CD\)\(=\)\(\sqrt{10-2\sqrt{5}}\)\(=\)\(DE\),在\(\triangle DOE\) 中,\(OD=OE=2\),\(DE\)\(=\)\(\sqrt{10-2\sqrt{5}}\),则由余弦定理可知, \(\cos\angle DOE=\cfrac{OD^2+OE^2-DE^2}{2\times OD\times OE}=\cfrac{4+4-(10-2\sqrt{5})}{2\times2\times2}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\) 即 \(\angle DOE=72^{\circ}\),故按照上述的方法做出来的是正五边形 . 高斯单位根法先说做法的结论:在 \(x\) 上找到点 \(D(\cfrac{\sqrt{5}-1}{4},0)\),过点 \(D\) 作 \(x\) 轴的垂线与单位圆交于一点,这点到单位圆与 \(x\) 轴交点的距离就是正五边形的边长,以此边长在单位圆上按逆时针顺次求得交点,这些点就是正五边形的端点。 原理说明:在复平面内,假设这个单位圆内的正五边形已经做好了,如上图所示,标记第一个点对应的复数为 \(r\)\(=\)\(x\)\(+\)\(yi\),其他四个顶点对应的复数分别为 \(r^2\),\(r^3\),\(r^4\),\(r^5\),其中\(r^5=1\),这五个复数就是复数方程 \(z^5=1\) 的五个根[1],我们叫它们为五次单位根。这些单位根不多不少只五个,且它们的模都为 \(1\) .这五个单位根所表示的点把单位圆五等分 . 其中有一个根位于正实轴上。这五个单位根之间有一个关系,\(1+r+r^2+r^3+r^4=0\),且 \(r\) 与 \(r^4\) 是共轭复数, \(r^2\) 与 \(r^3\) 也是共轭复数 . 下面来求解 \(x\), 设 \(A=r+r^4\), \(B=r^2+r^3\),则有(\(A=r+r^4>0\), \(B=r^2+r^3 |
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