函数的凹凸性与拐点习题

前置知识：函数的凹凸性与拐点

求 y = x e x − e x + 1 y=xe^x-e^x+1 y=xex−ex+1的单调性，极值，凹凸性及拐点。

解： \qquad 令 f ( x ) = x e x − e x + 1 f(x)=xe^x-e^x+1 f(x)=xex−ex+1

\qquad 定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)， f ( x ) = x e x − e x + 1 , f ′ ( x ) = x e x + e x − e x = x e x f(x)=xe^x-e^x+1,f'(x)=xe^x+e^x-e^x=xe^x f(x)=xex−ex+1,f′(x)=xex+ex−ex=xex

\qquad 可能的极值点： x = 0 x=0 x=0

\qquad 单调递增区间： ( − ∞ , 0 ] (-\infty,0] (−∞,0]，单调递减区间： [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞)，极小值为 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f(0)=0

f ′ ′ ( x ) = e x + x e x = ( x + 1 ) e x \qquad f''(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x f′′(x)=ex+xex=(x+1)ex

\qquad 可能的拐点： x = − 1 x=-1 x=−1

\qquad 凸区间： ( − ∞ , − 1 ] (-\infty,-1] (−∞,−1]，凹区间： [ − 1 , + ∞ ) [-1,+\infty) [−1,+∞)，拐点： ( − 1 , 1 − 2 e − 1 ) (-1,1-2e^{-1}) (−1,1−2e−1)