漫步微积分三十二

例1：曲线 y=x2,y=4 的边界围成的区域如图2所示，如果我们选用垂直窄带，那么它的长度为 4−x2 ，面积为 dA=(4−x2)dx 。整个区域的面积为

我们建议大家尽可能使用对称来简化计算。在这种情况下，图像左右对称，所以我们只需计算从 x=0 到 x=2 之间的积分，它是面积的一半，然后乘以2就得到总面积：

正如计算展示的那样，这样做有一个好处，就是一个积分的极限是0。

如果我们决定用水平窄带，那么长度就是右端的 x 值减去左端的x值。即 y√−−y√ ，所以 dA=[y√−(−y√)]dy=2y√dy ，整个面积是

答案跟以前一样，这并不奇怪，但不管这样令人放心。

我们曾经强调过好的图像对理解以及执行这些过程是多么重要。

例2：曲线 y=3−x2,y=x+1 的边界围成的区域如图3所示。通过求解方程可以很快求出交点，利用 y 值相等得

交点是 (−2,−1),(1,2) 。垂直窄带的长度为 (3−x2)−(x+1)=2−x2−x ，所以区域的面积可以通过求积分 dA=(2−x2−x) 得到，上下限是 −2,1

在这个问题中，使用水平窄带比较麻烦，因为如果 y2 ，它是从抛物线左半部分到右半部分，这意味着 dA 必须根据 y2 使用不同的公式。

例3：求出曲线 y=cosx,y=sin2x 在区间 0≤x≤π/2 上围成的区域面积。

解：曲线如图4所示，面积由两个阴影部分组成。这个例子的主要特征是曲线互相交叉，所以开始是第一个曲线在上面，然后是第二个。为了求解它，我们首先需要求出交点，这就意味着我们需要求解方程 cosx=sinx 。

据此

因此所求的面积为