概率论中PDF、PMF和CDF的区别与联系

在概率论中，经常出现PDF、PMF和CDF，那么这三者有什么区别与联系呢？

PDF：概率密度函数（probability density function）, 在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。

PMF : 概率质量函数（probability mass function), 在概率论中，概率质量函数是离散随机变量在各特定取值上的概率。

CDF : 累积分布函数 (cumulative distribution function)，又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。

如果XX是连续型随机变量，定义概率密度函数为fX(x)fX(x)，用PDF在某一区间上的积分来刻画随机变量落在这个区间中的概率，即

如果XX离散型随机变量，定义概率质量函数为fX(x)fX(x),PMF其实就是高中所学的离散型随机变量的分布律,即

比如对于掷一枚均匀硬币，如果正面令X=1X=1，如果反面令X=0X=0，那么它的PMF就是

不管是什么类型（连续/离散/其他）的随机变量，都可以定义它的累积分布函数，有时简称为分布函数。

对于连续型随机变量，显然有：

FX(x)=Pr(X≤x)=∫−∞xfX(t)dtF_X(x)=Pr(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f_X(t) dtFX​(x)=Pr(X≤x)=∫−∞x​fX​(t)dt 那么CDF就是PDF的积分，PDF就是CDF的导数。

对于离散型随机变量，其CDF是分段函数，比如举例中的掷硬币随机变量，它的CDF为:

FX(x)=Pr(X≤x){0if   x;012if   0≤x;11if   x≥1F_X(x)=Pr(X\leq x)\left\{ \begin{array}{rcl} 0 ; ; {if \ \ \ x ;0 }\\ \frac{1}{2} ; ; {if \ \ \ 0\leq x;1}\\ 1 ; ; {if\ \ \ x\geq 1}\\ \end{array} \right. FX​(x)=Pr(X≤x)⎩⎨⎧​021​1​​if   x