2.2 齐次方程组基础解系

  在线性空间求基的时候，经常会遇到齐次方程组基础解系的问题，比如以下齐次线性方程组： ( 3 2 1 0 0 0 0 0 0 ) v = ( 0 0 0 ) \begin{pmatrix}3&2&1\\0&0&0 \\0&0& 0\end{pmatrix}v =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} ​300​200​100​ ​v= ​000​ ​   这种秩为1的三维矩阵，我们知道，它的基础解系肯定是2个向量，那么未知数肯定有6个，我们只有三个已知数，要求六个未知数，怎么办？数字简单还可以配出来，数字复杂了，很多人就不知道怎么搞了？其实技巧很简单，把齐次方程转变为非齐次方程就好了。以上面的齐次线性方程为例子，基础解系肯定是下面的样子： v = k 1 ( a b c ) + k 2 ( d e f ) v=k_1\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}\\ v=k1​ ​abc​ ​+k2​ ​def​ ​   先让两个基的坐标正交，也就是 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1​,k2​正交，得到两个方程，如下： k 1 = 1 , k 2 = 0 , ⇒ 3 a + 2 b + c = 0 k 1 = 0 , k 2 = 1 , ⇒ 3 d + 2 e + f = 0 k_1=1,k_2=0,\Rightarrow 3a+2b+c=0\\ k_1=0,k_2=1,\Rightarrow 3d+2e+f=0\\ k1​=1,k2​=0,⇒3a+2b+c=0k1​=0,k2​=1,⇒3d+2e+f=0   因为这里的基的三个坐标可以任意取值，所以每个基的前两个坐标单位正交，去生成另外4个方程： a = 1 b = 0 d = 0 e = 1 ⇒ c = − 3 f = − 2 a=1\\ b=0\\ d=0\\ e=1\\ \Rightarrow c=-3\\ f = -2 a=1b=0d=0e=1⇒c=−3f=−2   所以基础解系为： v = k 1 ( 1 0 − 3 ) + k 2 ( 0 1 − 2 ) v=k_1\begin{pmatrix}1\\0\\-3\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}\\ v=k1​ ​10−3​ ​+k2​ ​01−2​ ​   其实就是把两个变量作为自由变量，这里是把 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1​,x2​作为自由变量，将解变成这样： v = x 1 ( 1 0 c ) + x 2 ( 0 1 f ) v=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\c\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\f\end{pmatrix}\\ v=x1​ ​10c​ ​+x2​ ​01f​ ​   看成两部分，第一部分： x 1 ( 1 0 c ) x_1\begin{pmatrix}1\\0\\c\end{pmatrix} x1​ ​10c​ ​   这部分，只受 x 1 x_1 x1​影响， x 2 x_2 x2​的取值被它乘以了 0 0 0.第二部分： x 2 ( 0 1 f ) x_2\begin{pmatrix}0\\1\\f\end{pmatrix}\\ x2​ ​01f​ ​   这部分，只受 x 2 x_2 x2​影响， x 1 x_1 x1​的取值被它乘以了 0 0 0.

  编程的思路是：

  完整代码在https://e.coding.net/buildt/math/matrix.git。

  测试结果完全正确：