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: .第4章不定积分内容概要名称主要内容不定设f(x),x5，若存在函数F(x/e-1★(ii>^e^x(e一？(e1泉=(ex1)dx=exxC.e-11、，1.5)dx=pdx-1x2x21x1,1八2dx=-一-arctanxC.x解：x★★(12>3xexdx思路：初中数学中有同底数籍的乘法：解：[3xexdx=[(******@xdx=(拓+C.ln(3e)指数不变，底数相乘。显然3xex=(3e)x。★★(13>cot2xdx思路:应用三角恒等式“cot2x=csc2x解：cot2xdx=J(cscx-1)dx--cotx-xC★★(14>.士宝dx,力-1。思路：被积函数3xCr>x只,oxC2352=2-5(2)x,积分没困难。3x解：23x：5翥3x★★(15>cos2xdx2思路：若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降籍，再积分。解：cos2-d=2★★(16>——1dx1cos2x思路：应用弦函数的升降籍公式，先升籍再积分。解：1dx=1cos2x★(17>cos2xdxcosx-sinx思路：不难，关键知道“cos2x=cos2x-sin2x命军：-c°s2x—dx=(cosxsinx)dx=sinx-cosxC.cosx—sinxv(2-5-)x)dx=2x—5+C.ln2-ln31cosx11dx=—x-sinxC.2221,12,1八dx=一secxdx=一tanxC.2cos2x2=(cosx十sinx)(cosx—sinx)。★(18>cos2x2dxcosxsinx思路:同上题方法，应用“解：2os2x2dx=cosxsinx2•2，，cos2x=cosx-sinx■21—dx-.=cscxdx-sec?xdx=…2.2cosx-sinx,—2dx"2cosxsinxsinx—cotx—tanxC.,分项积分。1—xcosx★★(19>(；x,；x)dx1x1-x思路:注意到被积函数三十1x-_-)dx=2『1：dx=2arcsinx+C.1-x_1_x21X」主=1-x心舄亮,应用公式(5＞即可。1-x1x1x1-x2★★(20>1cosxdx1cos2x思路:注意到被积函数解：1cos2X1cos2x』2,2』』空竺2=空宇=1sec2x+】，贝懒分易得。1cos2x2cosx2221tanxxdx=—secxdx—dx=C.22★2、设jxf(x)dx=arccosx+C，求f(x)。知识点：考查不定积分＜原函数)与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1：S[Jf(x)dx]=f(x)即可。dx解：等式两边对x求导数得：* 一、1…、1xf(x)__,.f(x)--一'.1-乂2xY1-x23、设f(x)的导函数为sinx,求f(x)的原函数全体。知识点：仍为考查不定积分＜原函数)与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，f(x)=sinxdx=-cosxC1所以f(x)的原函数全体为：J(-cosx+G)dx=-sinx+C1x+C2。4、证明函数-e2x,exshx和exchx都是—e的原函数2chx-shx知识点：考查原函数5定积分)与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。* 解：/—e=e2x,而—[(-e2x)^—[exshx^—[exchx^e2xchx-shxdx2dxdx5、一曲线通过点(e2,3),且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数＜不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解：设曲线方程为y=f(x)，由题意可知：d[f(x)]=【，二f(x)=In|x|+C；dxx又点(e2,3)在曲线上，适合方程，有3=In(e2)+C.C=1,所以曲线的方程为f(x)=ln|x|1.★★6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t2(m/s),问：(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？(2) 物体走完360M需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数 |