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线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方,否则称其为非线性微分方程。 数学上,一个线性函数(映射)
拥有以下两个性质: 叠加性:
齐次:
在α是有理数的情况下,一个可叠加函数必定是齐次函数(在讨论线性与否时,齐次函数专指一次齐次函数);若
是连续函数,则只要α是任意实数,就可以从叠加性推出齐次。然而在推广至任意复数α时,叠加性便再也无法导出齐次了。也就是说,在复数的世界里存在一种反线性映射,它满足叠加性,但却非齐次。叠加性和齐次这两个条件常会被合并在一起,称之为叠加原理: 对于一个表示为 的方程,如果是一个线性映射,则称为线性方程,反之则称为非线性方程。另外,如果
,则称此方程齐次(齐次在函数和方程上的定义不同,齐次方程指方程内没有和x无关的项C,即任何项皆和x有关)。 扩展资料: 常微分方程的定义: 定义1:凡含有参数,未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程,称为微分方程,有时简称为方程,未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程,未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶。定义式如下: 定义2:任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数,都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同,且任意常数之间不能合并,则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解,称为方程的特解。 一般地说,n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说,微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同,这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。 如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来,那么求这种解的问题叫做定解问题,对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数,把它化为多个一阶微分方程组。 |
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