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微分方程（基本内容）

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微分方程（基本内容）

2024-05-27 01:29| 来源: 网络整理| 查看: 265

目录

一、基本概念

（1）微分方程

（2）阶

（3）解

（4）通解

（5）特解

（6）初始条件

二、一阶微分方程

1、可分离变量的方程

2、齐次微分方程

3、一阶线性微分方程

4、伯努利方程

5、全微分方程

三、可降阶的高阶方程

四、高阶线性微分方程

1、线性微分方程的解的结构

2、常系数齐次线性微分方程

3、常系数非齐次线性微分方程

一、基本概念（1）微分方程

含有未知函数的导数或微分的方程

（2）阶

微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数

（3）解

满足微分方程的函数

（4）通解

若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数和方程的阶相同的解

（5）特解

不含任意常数的解

（6）初始条件

确定特解的一组常数

二、一阶微分方程 1、可分离变量的方程

定义：

能表示为 $g\left ( y \right )dy=f\left ( x \right )dx$ 的方程

解法：

两端积分 $\int g(y)dy=\int f(x)dx$

2、齐次微分方程

定义：

能化为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\varphi (\frac{y}{x})$ 的微分方程

解法：

一般方法令 $u=\frac{y}{x}$ ， $u'=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$ ，则 $y'=u+xu'$ ，从而原方程 $xu'=\varphi (u)-u$ ，即可化为可分离变量方程 $\frac{\mathrm{d}u }{\ \varphi (u)-u}=\frac{\mathrm{d}x }{\ x}$ 进行求解

3、一阶线性微分方程

定义：

形如 $y'+p(x)y=q(x)$ 的方程

解法：

（1）常数变易法

（2）运用通解公式 $y=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C]$

4、伯努利方程

定义：

形如 ${y}'+p(x)y=Q(x)y^{n}$ 的方程（n!=0,1）

解法：

一般方法令 $u=y^{1-n}$ ，将原方程化为一阶线性微分方程

5、全微分方程

定义：

若方程 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ 的左端是某个函数 u(x,y) 的全微分 $du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ ，则该方程称为全微分方程

解法：

通解为 $u(x,y)=C$

三、可降阶的高阶方程 1、基础 $y^{(n)}=f(x)$ 型

将f(x)逐次降阶

2、不显含y ${y}''=f(x,y')$ 型

令 $y'=p,y''=p'$ ，则原方程化为 $p'=f(x,p)$ 即一阶微分方程

3、不显含x ${y}''=f(y,y')$ 型

令 $y'=p,y''=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}={\mathrm{d} p} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\cdot \frac{1}{{\mathrm{d} y}}=\frac{p\cdot \mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}$ , 则原方程化为 $\frac{p\cdot \mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=f(y,p)$ 即一阶微分方程

四、高阶线性微分方程 1、线性微分方程的解的结构

我们这里只讨论二阶线性微分方程，其结论可以推导到更高阶的方程。二阶线性微分方程的一般形式为 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$ ，其中p(x),q(x),f(x)均为连续函数。当f(x)恒为0，称二阶线性齐次方程，否则称二阶线性非齐次方程。

齐次方程 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ -------------------------1

非齐次方程 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$ -------------------------2

定理1 若 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是1式两个线性无关(比不为常数)的特解，那么1式通解为

$y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$

定理2 若 $y^{*}$ 是2式的一个特解， $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是1式两个线性无关(比不为常数)的特解，则

$y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+y^{*}(x)$

为2式通解

定理3 若 $y_{1}^{*}(x),y_{2}^{*}(x)$ 是2式的两个特解，则 $y(x)=y_{2}^{*}(x)-y_{1}^{*}(x)$ 是1式的解

定理4 若 $y_{1}^{*}(x),y_{2}^{*}(x)$ 分别是方程

$y''+p(x)y'+q(x)y=f_{1}(x)$

$y''+p(x)y'+q(x)y=f_{2}(x)$

的特解，则 $y_{2}^{*}(x)+y_{1}^{*}(x)$ 是方程

$y''+p(x)y'+q(x)y=f_{1}(x)+f_{2}(x)$

的一个特解

2、常系数齐次线性微分方程

二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为

$y''+py'+qy=0$ -------------------------3

其特征方程为 $r^{2}+pr+q=0$ ，设 $r_{1},r_{2}$ 为该方程两个根

（1） $r_{1}\neq r_{2}$ ，则3式通解为

$y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}$

（2） $r_{1}=r_{2}$ ，则3式通解为

$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{r_{1}x}$

（3） $r^{_{1}}=\alpha +i\beta ,r^{_{2}}=\alpha -i\beta$ ，则3式通解为

$y=e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)$

3、常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为

$y''+py'+qy=f(x)$ -------------------------4

（1） $f(x)=P_{m}(x)e^{\lambda x}$ ，则4式通解为

$y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x}$

其中k是特征方程根含 $\lambda$ 的重复次数

（2） $f(x)=e^{\alpha x}[P^{(1)}_{l}(x)cos\beta x+P^{(2)}_{l}(x)sin\beta x]$ ，则4式通解为

$y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}[R^{(1)}_{m}(x)cos\beta x+R^{(2)}_{m}(x)sin\beta x]$

其中 $m=max\left \{ l,n\right \}$ ,

$\alpha +i\beta$ 不是3式的特征根时，k取0

$\alpha +i\beta$ 是3式的单特征根时，k取1

各位看官们，多多关照~

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