10 常微分方程初值问题的数值解法

2024-04-19 11:07| 来源: 网络整理| 查看: 265

10 常微分方程初值问题的数值解法 10.1 引言

包含自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中，如果自变量的个数只有一个，就称为常微分方程；如果自变量个数两个及以上，就称为偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶称为微分方程的阶。如果未知函数\(y\)及其各阶导数：\(y',y'',\cdots,y^{(n)}\)都是一次的，则称它是线性的，否则是非线性的。

高等数学中给出了一些典型的常微分方程的求解方法，但实际应用中，很多微分方程往往是无法直接求出解析解的。因此，很有必要研究微分方程的数值解法。一阶常微分方程的初值问题的一般形式是：

\[\left\{\begin{aligned} &y'=f(x,y),a\le x\le b\\ &y(x_0)=y_0 \end{aligned}\right.\tag{10-1-1} \]

其中函数\(f(x,y)\)的定义域\(D=\{(x,y)|a\le x\le b,c\le y\le d\}\)。

对于这一类的初值问题而言，如果\(f(x,y)\)在区域\(D\)上满足李普希兹（Lipschitz）条件，那么初值问题在区间\([a,b]\)上具有唯一连续可微解。李普希兹条件具体表述如下：

\[\exists L>0,\forall x\in[a,b],y\in[c,d],|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2| \]

所谓微分方程的数值解法，就是寻找方程(10-1-1)的解\(y(x)\)在一系列离散节点：\(x_1

【本文地址】

公司简介

联系我们