岭回归和套索回归（Lasso）

解决问题：变量过多时可能会导致多重共线性问题造成回归系数的不显著，甚至造成OLS估计的失效

岭回归和lasso回归在OLS回归模型的损失函数上加上了不同的惩罚项，该惩罚项由回归系数的函数构成，一方面，加入的惩罚项能够识别出模型中不重要的变量，对模型起到简化作用，可以看作逐步回归法的升级版；另一方面，加入的惩罚项能够让模型变得可估计，即使之前的数据不满足列满秩，在稍后的原理推导中我们将更加详细的说明这一点。

优点：有显式的解 缺点：对于影响很小的因子的值不能趋近到0

优点：可以将影响很小的因子的值减到0，更加便于筛选 缺点：没有真实的解，只能逼近和估计解

在 Stata 中，我们可以安装 lassopack 命令来实现 Lasso 回归，Lassopack 包含三个与 Lasso 相关的子命令（输入 help lassopack 可以查看详情）： ‐ 子命令 lasso2 可进行 Lasso 估 计； ‐ 子命令 cvlasso 可进行 K 折交叉验证（k‐fold cross validation）； ‐ 子命令 rlasso 可以估计惩罚项由数据决定或者高维情形（变量维度超过样本数）

我们使用 K 折交叉验证的方法来选择最佳的调整参数。

所谓的 K 折交叉验证，是说将样本数据随机分为 K 个等分。将第 1 个子样本作为 “验证集”（validation set）而保留不用，而使用其余 K-1 个子样本作为 “训练集”（training set）来估计此模型，再以此预测第 1 个子样本，并计算第1个子样本的 “均方预测误差”（Mean Squared Prediction Error）。

其次，将第 2 个子样本作为验证集，而使用其余 K-1 个子样本作为训练集来预测第2个子样本，并计算第 2 个子样本的 MSPE。

以此类推，将所有子样本的 MSPE 加总，即可得整个样本的 MSPE。最后，选择调整参数 ，使得整个样本的 MSPE 最小，故具有最佳的预测能力。

上表右边第 1 列即为 Lasso 所估计的变量系数。

其中，除常数项外，只有 3 个变量的系数为非零，而其余变量（未出现在表中）的系数则为 0。

考虑到作为收缩估计量的 Lasso 存在偏差（bias），上表右边第 2 列汇报了 “Post Lasso” 估计量的结果，即仅使用 Lasso 进行变量筛选，然后扔掉 Lasso 的回归系数，再对筛选出来的变量进行 OLS 回归。

注意：以上结果可能随着我们之前设置的随机数种子变化，因为lasso回归的估计是近似算法，且剔除的多重共线性变量是相对的。

我们首先使用最一般的OLS对数据进行回归，然后计算方差膨胀因子VIF，如果VIF>10则说明存在多重共线性的问题，此时我们需要对变量进 行筛选。

在第七讲时我们提到可以使用逐步回归法来筛选自变量，让回归中仅留下显著的自变量来抵消多重共线性的影响，学完本讲后，大家完全可以把lasso回归视为逐步回归法的进阶版，我们可以使用lasso回归来帮我们筛选出不重要的变量，步骤如下：

（1）判断自变量的量纲是否一样，如果不一样则首先进行标准化的预处理； （2）对变量使用lasso回归，记录下lasso回归结果表中回归系数不为0的变量，这些变量就是最终我们要留下来的重要变量，其余未出现在表中的变量可视为引起多重共线性的不重要变量。

在得到了重要变量后，我们实际上就完成了变量筛选，此时我们只将这些重要变量视为自变量，然后进行回归，并分析回归结果即可。（注意：此时的变量可以是标准化前的，也可以是标准化后的，因为lasso只起到变量筛选的目的）

总结： （1）不是所有多元线性回归都需要这两种回归方式，如果变量较少，且相互独立没有变量间影响，就不要做这些操作 （2）两种操作核心就是为了消除多变量带来的多重共线性问题 （3）一般优先使用Lasso回归，更加便捷 （4）且不要忘记数据的预处理和变量的标准化