求空间异面直线的公垂线

【光能蜗牛的图形学之旅】求3维度空间异面直线的垂足点 题设：假设有两条直线 L1，L2 ，以及两条直线的方向向量V1，V2，求其最短距离连线的连接点。 首先，最短距离很好求，也即是两异面直线公垂线的长度，选择L1上任意一点P1连接L2上任意一点P2，则线段P1P2在L1，L2的公垂线上的投影即是长度,这个太简单，而且百度搜索一搜一大堆，不解释

而异面直线的垂足点，则不是那么好求，我找了好一阵网上的代码，坑得要死，无奈只能自己写，

基本思路如下， 因为直线的定义可以由如下式子给出 L(t) = P + t*V

则在L1和L2上分别选择任意的p1,p2,以及对应的t1,t2,得到的L1(t1),L2(t2)。 写作如下等式 L1(t1) = P1 + t1V1--------------------------(1) L2(t2) = P2 + t2V2--------------------------(2)

如果L1(t1),L2(t2)刚好是各自直线的垂足点， 那么可以得出此时| L2(t2)-L1(t1) | 的模长为最小值 且构成的 L2(t2)-L1(t1) 向量刚好就是公垂线 因为v1,和 v2都和公垂线垂直，所以，v1和v2各自和公垂线的点乘都为0

于是我们可以写出如下等式 （ L2(t2)-L1(t1) ） . V1 = 0 //.表示点乘 （ L2(t2)-L1(t1) ） . V2 = 0

即 （t2V2-t1V1 + P2 - P1 ）.V1 = 0 （t2V2-t1V1 + P2 - P1 ）.V2 = 0

整理

t2V2.V1 - t1V1.V1 + (P2 - P1).V1 = 0 t2V2.V2 - t1V1.V2 + (P2 - P1).V2 = 0

令 a = V1 .V2 = V2.V1 b = V1.V1 c = V2.V2 d = (P2 - P1) .V1 e = (P2 - P1).V2

则上式可化简为

at2 - bt1 + d = 0 ct2 - at1 + e = 0

以下分三种情形讨论

当a = 0 ，即 V1 .V2 = V2.V1 = 0时，表明原始两条直线互相垂直 则 t1 = d / b; t2 = -e / c;

当a != 0时候 解上述方程 t1 = (ae -cd)/(aa-bc) t2 = b/a * t1 - d/a

这里发现当(a * a - b * c) = 0时，即(V2.V1) * (V2.V1) = (V1.V1) * (V2.V2) = 0时，也就是两条直线平行或共线，此时无意义，所以只要排除即可

综上所述 a = 0 时

t1 = d / b; t2 = -e / c;

(a * a - b * c) ! = 0 时

t1 = (ae -cd)/(aa-bc) t2 = b/a * t1 - d/a