【数字电子技术基础】逻辑代数基本运算公式证明

参考书目：《数字电子技术基础》第三版.侯建军.高等教育出版社

在预习第一章第二节逻辑代数基础时，发现书中未对全部定律给出证明，下面对分配律、吸收律中部分公式进行证明

证明1： A + B ⋅ C = ( A + B ) ⋅ ( A + C ) A+B\cdot C=(A+B)\cdot (A+C) A+B⋅C=(A+B)⋅(A+C) ( A + B ) ⋅ ( A + C ) = A + A C + A B + B C = A + A + A C + A B + B C = A ( B + B ‾ ) + A ( C + C ‾ ) + A C + A B + B C = A B + A B ‾ + A C + A C ‾ + A C + A B + B C = A B + A B ‾ + A C + A C ‾ + B C = A ( B + B ‾ ) + A ( C + C ‾ ) + B C = A + A + B C = A + B C Q . E . D (A+B)\cdot(A+C)=A+AC+AB+BC \\ =A+A+AC+AB+BC \\= A(B+\overline{B})+A(C+\overline{C})+AC+AB+BC\\=AB+A\overline{B}+AC+A\overline{C}+AC+AB+BC \\=AB+A\overline{B}+AC+A\overline{C}+BC\\=A(B+\overline{B})+A(C+\overline{C})+BC\\=A+A+BC\\=A+BC\\Q.E.D (A+B)⋅(A+C)=A+AC+AB+BC=A+A+AC+AB+BC=A(B+B)+A(C+C)+AC+AB+BC=AB+AB+AC+AC+AC+AB+BC=AB+AB+AC+AC+BC=A(B+B)+A(C+C)+BC=A+A+BC=A+BCQ.E.D

证明2： A ( A + B ) = A A(A+B)=A A(A+B)=A A ( A + B ) = A + A B = A ( B + B ‾ ) + A B = A B + A B ‾ + A B = A B + A B ‾ = A ( B + B ‾ ) = A Q . E . D A(A+B)=A+AB\\=A(B+\overline{B})+AB\\=AB+A\overline{B}+AB\\=AB+A\overline{B}\\=A(B+\overline{B})\\=A\\Q.E.D A(A+B)=A+AB=A(B+B)+AB=AB+AB+AB=AB+AB=A(B+B)=AQ.E.D

证明3： A + A ‾ B = A + B A+\overline{A}B=A+B A+AB=A+B A + A ‾ B = A ( B + B ‾ ) + A ‾ B = A B + A B ‾ + A ‾ B + A B = A ( B + B ‾ ) + B ( A + A ‾ ) = A + B Q . E . D A+\overline{A}B=A(B+\overline{B})+\overline{A}B\\=AB+A\overline{B}+\overline{A}B+AB\\=A(B+\overline{B})+B(A+\overline{A})\\=A+B\\Q.E.D A+AB=A(B+B)+AB=AB+AB+AB+AB=A(B+B)+B(A+A)=A+BQ.E.D

证明4： A B + A ‾ C + B C = A B + A ‾ C AB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}C AB+AC+BC=AB+AC A B + A ‾ C + B C = A B ( C + C ‾ ) + A ‾ C ( B + B ‾ ) + B C ( A + A ‾ ) = A B C + A B C ‾ + A ‾ B C + A ‾ B ‾ C + A B C + A ‾ B C = A B C + A ‾ B C + A B C ‾ + A ‾ B ‾ C = A B ( C + C ‾ ) + A ‾ C ( B + B ‾ ) = A B + A ‾ C Q . E . D AB+\overline{A}C+BC=AB(C+\overline{C})+\overline{A}C(B+\overline{B})+BC(A+\overline{A})\\=ABC+AB\overline{C}+\overline{A}BC+\mathop{\overline{A}\mathop{\overline{B}}}C+ABC+\overline{A}BC\\=ABC+\overline{A}BC+AB\overline{C}+\mathop{\overline{A}\mathop{\overline{B}}}C\\=AB(C+\overline{C})+\overline{A}C(B+\overline{B})\\=AB+\overline{A}C\\Q.E.D AB+AC+BC=AB(C+C)+AC(B+B)+BC(A+A)=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=AB(C+C)+AC(B+B)=AB+ACQ.E.D

证明5： ( A + B ) ( A ‾ + C ) ( B + C ) = ( A + B ) ( A ‾ + C ) (A+B)(\overline{A}+C)(B+C)=(A+B)(\overline{A}+C) (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C) ( A + B ) ( A ‾ + C ) ( B + C ) = ( A A ‾ + A C + B A ‾ + B C ) ( B + C ) = A A ‾ B + A A ‾ C + A C B + A C C + B A ‾ B + B A ‾ C + B C B + B C C = A B C + A C + A ‾ B + A ‾ B C + B C = A C + A ‾ B + B C = A C + A ‾ B + B C + A A ‾ = A ( A ‾ + C ) + B ( A ‾ + C ) = ( A + B ) ( A ‾ + C ) Q . E . D (A+B)(\overline{A}+C)(B+C)=(A\overline{A}+AC+B\overline{A}+BC)(B+C)\\=A\overline{A}B+A\overline{A}C+ACB+ACC+B\overline{A}B+B\overline{A}C+BCB+BCC\\=ABC+AC+\overline{A}B+\overline{A}BC+BC\\=AC+\overline{A}B+BC\\=AC+\overline{A}B+BC+A\overline{A}\\=A(\overline{A}+C)+B(\overline{A}+C)\\=(A+B)(\overline{A}+C)\\Q.E.D (A+B)(A+C)(B+C)=(AA+AC+BA+BC)(B+C)=AAB+AAC+ACB+ACC+BAB+BAC+BCB+BCC=ABC+AC+AB+ABC+BC=AC+AB+BC=AC+AB+BC+AA=A(A+C)+B(A+C)=(A+B)(A+C)Q.E.D

希望对读者有所帮助