数理史上的绝妙证明：万有引力平方反比律的证明

撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）

1 行星运动的开普勒三定律

行星的运动，恰巧是人的特征尺度上可研究的问题。行星的量度足以为人眼所分辨，其运动的特征时间又与人的特征时间（年、日）相吻合[1]。人类数千年关于行星在天空中位置变化的观测，在1602年达成了质的跃变。那一年，德国天文学家开普勒指出，行星绕太阳的运动在相同的时间内扫过相同的面积。这后来被称为开普勒第二定律。用近代物理的语言表述，它说的是有心力场内的运动保持角动量守恒。1605年开普勒又指出行星绕太阳运动的轨道是太阳居于焦点之一的椭圆。这后来被称为开普勒第一定律。开普勒第一、第二定律收录于Astronomia Nova （《新天文学》）一书。1619年开普勒宣告了他的第三定律，行星轨道周期的平方与其半长轴的立方成正比。第三定律收录于开普勒的Harmonices Mundi[2]一书。

一般书里介绍开普勒三定律，基本上是照着字面一成不变地转述：1）行星轨道为椭圆，太阳在椭圆的焦点之一上；2） 行星轨道在相同的时间内扫过相同的面积；3） 行星轨道周期的平方与其半长轴的立方成正比。至于从近代物理的角度看这三定律的含义是什么，内在关系是什么，未来有什么进展，还有对中国人来说比较重要的汉译是否正确，则鲜有论及。请允许笔者稍作补充。 

关于第一定律，开普勒一开始考虑的轨道是卵形线，毕竟他手里只有有限的、不准确的关于火星和太阳的观测数据，连起来不会看起来如完美的椭圆。但那时候没人知道卵形线的方程——卵形线的方程还得等二百四十多年才由麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831-1879）给出。椭圆作为行星轨道的选择有点不那么自然而然，一个可能的原因是椭圆有两个焦点（focus） 而天上只有一个太阳，凭什么太阳在这个焦点而不在那个焦点上？实际上，天上有一个太阳，太阳是个大火炉，火炉才是拉丁语focus （furnace）的本义。后来我们知道，椭圆，与双曲线、抛物线、圆、直线、点等几何图形一样，都是圆锥曲线的特例，本质上是一致的，都可以是平方反比力场作用下物体的运动轨迹。抛物线就只有一个焦点，而椭圆也有只需一个焦点的定义——到一点的距离和到一条直线距离之比为小于1的常数的点的集合是椭圆！第一定律确定了行星轨道的全局几何性质，第二定律确定的是行星在轨道不同位置上的运动快慢问题。用现代物理语言来说，行星绕太阳运动，其角动量守恒。第三定律讲述的轨道大小（由椭圆的半长轴, a, 和偏心率表征） 与运动快慢（与轨道的大小和周期, T, 有关）之间的关系，

 从现代物理的角度来看，第三定律引入了能量的问题，能量大的椭圆轨道离太阳更远以至变成抛物线或者双曲线。也就是说，行星轨道问题关系到的物理量分别是角动量 

 和能量 

后来的尼尔斯·玻尔（Niels Bohr, 1885-1962）熟知这一点，所以他为了给电子绕氢原子核运动的能量只有一些 

 的分立值而非如同在经典的太阳-行星模型中那样能量是连续的找个恰当理由，只能到角动量上去找，而角动量恰恰与量子力学的标签——普朗克常数 h——有相同的量纲，于是有了神奇的所谓玻尔量子化条件 

[3]。

那么，开普勒的这三个定律后来有证明吗？或者，挑个软柿子捏，如何证明行星的轨道是椭圆。证明的意思是，找个理由，从这个理由顺着严格的数学逻辑能到达椭圆这个几何图形。

2 牛顿的几何证明：从椭圆到平方反比的引力

早在开普勒时期，人们就已经意识到太阳与行星之间有随距离增大而渐弱的引力（gravity, gravitation），确切地说是与距离平方成反比的引力。到牛顿时期，想到或者愿意接受万物之间皆存在平方反比引力的人已经很多了。但是，如何证明这平方反比引力 

是这宇宙的决定性力量，也就是说如果存在万有引力这个理由的话，如何从万有引力导出椭圆形的行星轨道？这个证明，利用牛顿第二定律加上微积分技术是容易得到的（参见Herbert Goldstein，Classical Mechanics）。但牛顿那时手里还没有成熟的微积分技术，他是用欧几里得几何证明的。这个证明在牛顿的《自然哲学的数学原理》一书中不足一页 （因为老是引用前面的结果），后来钱德拉塞卡（Subrahmanyan Chandrasekhar，1910-1995）给拓展成了好几页才让一般人看得懂。 

图1.  牛顿《原理》一书第一编、第三章问题6的图

实话实说，读到这段时，我不知道牛顿证明的思路是从哪里来的。与300多年前的牛顿相比，我们对阿波罗尼乌斯（Appolonius of Perga，ca. 245-ca.190 BC）的圆锥曲线根本没学会。还有一个小迷惑，我不知道为什么管Qv叫ordinate。建议真想弄懂的读者，阅读钱德拉塞卡对牛顿这本书的通俗版解读。

3 利用微分方程的证明：从平方反比的力到开普勒三定律

太阳-行星体系是典型的两体问题（two-body problem）：两个物体相互间的作用决定了它们的运动方式。由于这两个物体不受外界的作用，它们作为一个整体是作惯性运动的（这实际上是马赫的力学两个基本原理之第二），因此所谓的两体的运动，指的是两体之间的相对运动。若两物体之间的作用力是沿着两者之间的连线的，称为有心力（central force）；万有引力是有心力，且力的大小与距离的平方成反比。我们的任务是证明：若两体之间的吸引作用力是平方反比的，则相对运动的轨迹是椭圆。 

如果两体之间的作用力是有心力，则角动量 r×p 是守恒的。

右边第一项根据定义

所以为零；根据牛顿第二定律 

若 f(r) 是有心力，则第二项也是零，故 r×p 是守恒的。这意味着，两体体系的运动只发生在与角动量 r×p 垂直的平面内。行星绕太阳的运动就限制在一个平面内；碰巧的是，太阳系几大行星的轨道都大致在一个平面内，是为黄道面（ecliptic plane）。这一点是很久以前就观测到的事实。

既然两体系统的运动限制在一个平面内，且对太阳-行星这种质量相差太大的情形，可以进一步假设太阳-行星体系的质心就在太阳上，则该系统的拉格朗日量可写为 

 定义 

经典力学认为物体的轨道就是让 

 最小的路径，需满足的条件就是欧拉-拉格朗日方程。由关于变量 θ 的欧拉-拉格朗日方程，可得 

即 

 为常数，而 

 恰是轨道在单位时间内扫过的面积—这证明了开普勒第二定律。强调一遍，太阳-行星间的引力是有心力 （无需是平方反比的）保证了行星绕太阳在一个平面内运动，且相同时间内扫过同样的面积。这即是说，开普勒第二定律只要求太阳-行星间的引力是有心力。 

关于变量 r 的欧拉-拉格朗日方程为 

 若相互作用力是平方反比的， 即 

记 

u=1/r ，方程变为 

其一般解的形式为 

其中e是由体系能量E决定的参数，可由此问题由能量守恒入手的推导得到，

参数 e 是轨道的偏心率: e>1 (E>0)  ，轨道是双曲线的一支；e=1 (E=0)，轨道是抛物线； 0