【科普】对开普勒第三定律的推导

开普勒第一定律  所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律  行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等。

开普勒第三定律  所有行星绕太阳运动的周期的平方与它们轨道半长轴的立方成比例。

本期专栏将对开普勒第三定律进行推导。

由开普勒第一定律可知，行星绕太阳运行的轨道是椭圆。

而我们在高中数学内容中已经学过椭圆的标准方程，因此不妨使用解析几何有关知识对开普勒第三定律进行推导。

我们可以假设，椭圆的两个焦点在x轴上，其中心在原点。

那么可以知道，太阳必在其中一个焦点上。

设椭圆的方程为 ，其中(a,b>0)。

其中的a便是椭圆的半长轴。

根据能量守恒，我们可以写出椭圆长轴两个端点处的能量所满足的方程

根据角动量守恒得

我们根据以上两个方程，可以解出 

由于能量守恒，所以

总能量 

在椭圆中，有  

所以易得 

椭圆的面积是

由开普勒第二定律可知，掠面速度(单位时间扫过的面积)为

则周期

所以

故

从上面这个式子可以看出，对于质量不同的中心天体，开普勒第三定律中的“比例”是不同的，

而围绕同一中心天体转动的天体，它们的轨道半长轴立方与周期平方为常数。

到这里，我们已经成功推导出开普勒第三定律。

总而言之，整个推理过程并不复杂，结论也极其简洁。

这也顺应了开普勒的一句话：

自然喜欢简洁与统一。