向量的投影与投影向量

关于向量，以前我们学习了概念：向量的投影，现在新人教 \(A\) 版教材中又出现了新概念：投影向量，如何理解和区分这两个数学概念？这个我们得从向量的内积谈起：

已知两个非零向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 由于我们研究的是自由向量，所以可以平移任意两个非零向量，使得其起点为同一个点，如图所示 ，它们的夹角为 \(\theta\) ， 我们把数量 \(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}\)\(|\cdot\)\(\cos\theta\) 叫做向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的数量积 \(\big[\)或内积，由于用小圆点表示乘法，故也称为点乘，谨记不要写成叉乘 [1] ，如 \(\vec{a}\times\vec{b}\) \(\big]\) ， 记作 \(\vec{a}\cdot \vec{b}\)， [2]

规定: 零向量 \(\vec{0}\) 与任一向量的数量积为 0 。对比向量的线性运算， 我们发现， 向量线性运算的结果是一个向量， 而两个向量的数量积是一个数量， 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。

①. 表征或计算两个向量之间的夹角，从表达式 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\) ，可以分析得到，当已知 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\) 和 \(|\vec{a}|\)以及 \(|\vec{b}|\) 时，我们就可以求解两个向量之间的夹角；

②. \(\vec{a}\) 向量在 \(\vec{b}\) 向量方向上的投影(或 \(\vec{b}\) 向量在 \(\vec{a}\) 向量方向上的投影)；

过点 \(A\) 做向量 \(\vec{b}\) 所在直线的垂线段，垂足为点 \(A_1\)，则有向线段 \(OA_1\) 称为向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影[此为向量投影的形的表达]，故向量的投影是有向线段的数量，可正，可负，可零。当\(0\leq\)\(\theta\)\(