6.2.3 向量的数乘运算（教案）

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第六章 平面向量及其应用6.2.3 向量的数乘运算教学设计教学目标1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及其运算规则.2.理解平面向量的数乘运算的几何意义.3.理解两个平面向量共线的含义.4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.教学重难点教学重点：平面向量的数乘运算及其几何意义.教学难点：平面向量的数乘运算的应用.教学过程新知积累1.向量的数乘运算：一般地，规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与a的方向相同；当时，的方向与a的方向相反.由（1）可知，当时，，由（1）（2）可知，.2.向量数乘的运算律：设，为实数，那么：（1）；（2）；（3）.特别地，有，.3.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数，，，恒有.4.向量共线定理：向量与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.例题巩固例1 计算：（1）；（2）；（3）.解析：（1）原式；（2）原式；（3）原式.例2 如图，的两条对角线相交于点M，且，，用a，b表示，，和.解：在中，，.由平行四边形的两条对角线互相平分，得，，，.例3 如图，已知任意两个非零向量a，b，试作，，.猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想.解：分别作向量，，，过点A，C作直线AC如图，观察发现，不论向量a，b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A，B，C三点共线.事实上，因为，，所以. 因此A，B，C三点共线.例4 已知a，b是两个不共线的向量，向量，共线，求实数t的值.解：由a，b不共线，易知为非零向量，由向量，共线，可知存在实数，使得，即.由a，b不共线，必有，否则，不妨设，则，由两个向量共线的充要条件知a，b共线，与已知矛盾，由，解得，因此，当向量，共线时，.课堂练习1.已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为( )A. B. C. D.答案：B解析：因为，，三点共线，所以向量.令，，，由，是不共线的向量，得，解得，.故选B.2.（多选）若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.答案：ABC解析：在中，，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，故D不正确.故选ABC.3.设向量，不平行，向量与平行，则实数________.答案：解析：因为向量，不平行，向量与平行，所以存在实数，使得，即，解得，所以.小结作业小结：本节课学面向量的数乘运算.作业：完成本节课课后习题.板书设计6.2.3 向量的数乘运算1.向量的数乘运算2.向量数乘的运算律3.向量的线性运算4.向量共线定理2

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