8.2 立体图形的直观图

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必修第二册同步巩固，难度2颗星！

用来表示空间几何体的平面图形叫做空间几何体的直观图，常用斜二测画法画它们的直观图.  

一般步骤如下： ① 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的\(x\)轴和\(y\)轴,两轴相交于点\(O\). ② 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的\(x'\)轴和\(y'\)轴, 两轴相交于点\(O'\),且使\(∠x'O'y' =45\)度(或\(135\)度), 它们确定的平面表示水平平面. ③ 画对应图形: 在已知图形平行于\(x\)轴的线段, 在直观图中画成平行于\(x'\)轴, 长度保持不变.在已知图形平行于\(y\)轴的线段, 在直观图中画成平行于\(y'\)轴, 且长度为原来一半. ④ 对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段. ⑤ 擦去辅助线: 图画好后,要擦去x'轴,y'轴及为画图添加的辅助线.  

平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚.  

原来的高变成了\(45°\)的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)倍，故新高是原来高的\(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)，而横向长度不变，所以面积变为原面积的\(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\).  

【典题1】用斜二测画法画出图中五边形\(ABCDE\)的直观图． 解析 在原图形中作\(BF⊥x\)轴，\(EG⊥x\)轴，垂足分别为\(F\)、\(G\)， 1、作坐标系\(x'O'y'\)，使\(∠x'O'y'= 45^{\circ}\)， 2、在\(x'\)轴上取点\(C'\)，\(D'\)，\(F'\)，\(G'\)使\(O'C'=OC\)，\(O'D'=OD\)，\(O'F'=OF\)，\(O'G'=OG\)； 3、在\(y'\)轴上取点\(A'\)，使\(O' A'=\dfrac{1}{2} OA\)，作\(F'B'∥y'\)，使\(F' B'=\dfrac{1}{2} FB\)，作\(G'E'∥y'\)，使\(G' E'=\dfrac{1}{2} GE\)； 4、连接\(A'B'\)，\(B'C'\)，\(D'E'\)，\(E'A'\)，得五边形\(ABCDE\)的直观图． (正五边形的直观图的形状如下图所示)  

1.利用斜二测画法得到的(　　) ①三角形的直观图是三角形 \(\qquad \qquad\) ②平行四边形的直观图是平行四边形 ③正方形的直观图是正方形 \(\qquad \qquad\) ④菱形的直观图是菱形  A．③④ \(\qquad \qquad \qquad\) B．① \(\qquad \qquad \qquad\) C．①② \(\qquad \qquad \qquad\) D．①②③④  

2.用斜二测画法西出下列平面图形水平放置的直观图．  

参考答案

【典题1】如图，\(△A'B'C'\)是\(△ABC\)的直观图，其中\(A'B'=A'C'\)，\(A'B'∥x'\)轴，\(A'C'∥y'\)轴，那么\(△ABC\)是(　　)  A．等腰三角形 \(\qquad \qquad \qquad\) B．钝角三角形 \(\qquad \qquad \qquad\) C．等腰直角三角形\(\qquad \qquad \qquad\) D．直角三角形 解析 根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变， 且平行于\(x\)轴的线段，长度不变，平行于\(y\)轴的线段，长度变为原来的一半， \(∴\)直观图\(△A'B'C'\)的原来图形\(△ABC\)是直角三角形，且\(AC=2AB\)，不是等腰直角三角形． 故选：\(D\)． 点拨 斜二测法：平行于\(x\)轴的线段，长度不变，平行于\(y\)轴的线段，长度变为原来的一半.  

【典题2】梯形\(A_1 B_1 C_1 D_1\)(如图)是一水平放置的平面图形\(ABCD\)的直观图(斜二测)，若\(A_1 D_1∥y'\)轴，\(A_1 B_1∥x'\)轴， \(A_1 B_1=\dfrac{2}{3} C_1 D_1=2\)，\(A_1 D_1=1\)，则平面图形\(ABCD\)的面积是(　　)  A.\(5\) \(\qquad \qquad \qquad\) B.\(10\) \(\qquad \qquad \qquad\) C.\(5\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D.\(10\sqrt{2}\) 解析 方法一 如图，根据直观图画法的规则， 直观图中\(A_1 D_1∥O'y'\)，\(A_1 D_1=1\)，\(⇒\)原图中\(AD∥Oy\)， 从而得出\(AD⊥DC\)，且\(AD=2A_1 D_1=2\)， 直观图中\(A_1 B_1∥C_1 D_1\)，\(A_1 B_1=\dfrac{2}{3} C_1 D_1=2\)，\(⇒\)原图中\(AB∥CD\)，\(AB=\dfrac{2}{3} CD=2\)， 即四边形\(ABCD\)上底和下底边长分别为\(2\)，\(3\)，高为\(2\)，如图． 故其面积\(S=\dfrac{1}{2}(2+3)×2=5\)； 故选：\(A\)． 方法二 \(∵∠A_1 D_1 O_1=45°\),\(∴\)梯形的高\(h=A_1 D_1 \cos 45^∘=\sqrt{2}/2\) \(\therefore S_{\text {梯形 } A_1 B_1 C_1 D_1}=\dfrac{5 \sqrt{2}}{4}\)， \(∴\)平面图形\(ABCD\)的面积是 \(\dfrac{5 \sqrt{2}}{4} \times 2 \sqrt{2}=5\). 点拨 斜二侧画法的面积是原来图形面积的\(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)倍,原来图形的面积是斜二侧画法的面积的\(2\sqrt{2}\)倍.  

1.如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为\(45^{\circ}\)，腰和上底长均为\(1\)的等腰梯形，则原平面图形为(　　)  A．下底长为\(1+\sqrt{2}\)的等腰梯形 \(\qquad \qquad \qquad\) B．下底长为\(1+2\sqrt{2}\)的等腰梯形  C．下底长为\(1+\sqrt{2}\)的直角梯形 \(\qquad \qquad \qquad\) D．下底长为\(1+2\sqrt{2}\)的直角梯形  

2.如图所示的是水平放置的三角形直观图，\(D'\)是\(△A' B' C'\)中\(B' C'\)边上的一点，且\(D'\)离\(B'\)比\(D'\)离\(C'\)近，又\(A'D'∥y'\)轴，那么原\(△ABC\)的\(AB\)、\(AD\)、\(AC\)三条线段中(　　)  A．最长的是\(AB\)，最短的是\(AC\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．最长的是\(AC\)，最短的是\(AD\)  C．最长的是\(AD\)，最短的是\(AC\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．最长的是\(AB\)，最短的是\(AD\)  

3.如图所示，矩形\(O'A'B'C'\)是一个水平放置的平面图形的直观图，其中\(O'A'=3\)，\(O'C'=1\)，则原图形是(　　)  A．面积为\(6\sqrt{2}\)的菱形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．面积为\(6\sqrt{2}\)的矩形  C．面积为\(\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}\)的菱形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．面积为\(\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}\)的矩形  

4.如图所示，某三角形的直观图是斜边长等于\(2\)的等腰直角三角形\(O'A'B'\)，则原三角形\(OAB\)的面积等于(　　)  A．\(1\)\(\qquad \qquad\qquad \qquad\) B．\(2\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)  

参考答案

答案 \(C\) 解析 \(∵\)平面图形的直观图是一个底角为\(45^{\circ}\)，腰和上底长均为\(1\)的等腰梯形， \(∴\)平面图形为直角梯形，且直角腰长为\(2\)，上底边长为\(1\)， \(∴\)梯形的下底边长为\(1+\sqrt{2}\)， 故选：\(C\)．

答案 \(B\) 解析 由题意得到原\(△ABC\)的平面图为： 其中，\(AD⊥BC\)，\(BDAB>AD\)， 所以\(△ABC\)的\(AB\)、\(AD\)、\(AC\)三条线段中最长的是\(AC\)，最短的是\(AD\)． 故选：\(B\)．

答案 \(A\) 解析 \(∵\)矩形\(O'A'B'C'\)是一个水平放置的平面图形的直观图，其中\(O'A'=3\)，\(O'C'=1\)， 又 \(\angle D^{\prime} O^{\prime} C^{\prime}=45^{\circ}\)，\(∴O' D'=\sqrt{2}\)，直观图面积为\(1×3=3\)， 在原图中\(OA∥BC\)，\(OC∥AB\)，高为\(OD=2\sqrt{2}\)，\(CD=1\)， \(\therefore O C=\sqrt{(2 \sqrt{2})^2+1^2}=3\)． \(∴\)原图形是菱形，且面积为：\(3×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)． 故选：\(A\)．

答案 \(C\) 解析 根据题意，三角形的直观图是斜边长等于\(2\)的等腰直角三角形O'A'B'，则直角边为\(\sqrt{2}\)， 所以，直观图的面积为\(\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1\)， 根据直观图的面积\(=\sqrt{2}/4\)原图的面积，所以原图的面积为\(1×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)． 故选：\(C\)．  

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是(　　)  A．相等的角在直观图中仍然相等 \(\qquad \qquad\) B．相等的线段在直观图中仍然相等  C．正方形在直观图中仍然是正方形 \(\qquad \qquad\) D．平行的线段在直观图中仍然平行  

2.如图，\(△O'A'B'\)是水平放置的\(△OAB\)的直观图，\(A'O'=6\)，\(B'O'=2\)，则线段\(AB\)的长度为(　　)  A． \(2 \sqrt{10}\) \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) B．\(4\sqrt{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2 \sqrt{13}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4 \sqrt{13}\)  

3.如图，\(△A'B'C'\)是\(△ABC\)的直观图，其中\(B'O'=C'O'=1\)， \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}^{\prime}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，那么\(△ABC\)是一个(　　)  A．等边三角形 \(\qquad \qquad\) B．直角三角形 \(\qquad \qquad\) C．等腰三角形\(\qquad \qquad\) D．无法确定  

4.已知等边\(△ABC\)的直观图\(△A'B'C'\)的面积为 \(\sqrt{6}\)，则\(△ABC\)的面积为(　　)  A． \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)\(\qquad \qquad\qquad \qquad\) C． \(2 \sqrt{6}\) \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) D． \(4\sqrt{3}\)  

5.如图，在等边\(△ABC\)中，\(BC=4\)，若\(△ABC\)的直观图为\(△A'B'C'\)，则\(△A'B'C'\)的面积为(　　)  A．\(\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(4\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(8\sqrt{6}\)  

6.有下列结论： ①相等的角在直观图中仍然相等； ②相等的线段在直观图中仍然相等； ③若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中结论正确的是\(\underline{\quad \quad}\)．(填序号)  

7.如图，梯形\(ABCD\)是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 \(\angle A B C=45^{\circ}\)，\(AB=AD=1\)，\(DC⊥BC\)，则原图形的面积为\(\underline{\quad \quad}\)．  

8.用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图．(不写作法，保留作图痕迹)      

9.如图，菱形\(ABCD\)的一边长为\(2\)，\(∠A=45^{\circ}\)，且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图，请画出这个四边形的原图形，并求出原图形的面积．      

参考答案

答案 \(D\) 解析 选项\(A\)：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，\(A\)错误； 选项\(B\)：由于斜二测画法的法则是平行于\(x\)轴的线平行性与长度都不变；平行于\(y\)轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一般，故\(B\)错误； 选项\(C\)：正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，\(C\)错误； 选项\(D\)：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，\(D\)正确． 故选：\(D\)．

答案\(C\) 解析 由直观图可知，\(△OAB\)是直角三角形，且\(OA=6\)，\(OB=4\)， 所以线段\(AB\)的长度为：\(\sqrt{6^2+4^2}=2 \sqrt{13}\)， 故选：\(C\)．

答案 \(A\) 解析 由已知中△ABC的直观图中\(B'O'=C'O'=1\)， \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}^{\prime}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)， \(∴△ABC\)中，\(BO=CO=1\)， \(A O=\sqrt{3}\)， 由勾股定理得：\(AB=AC=2\)， 又由\(BC=2\)， 故\(△ABC\)为等边三角形， 故选：\(A\)．

答案 \(D\) 解析 由于原图和直观图面积之间的关系\(\dfrac{S_{\text {原图 }}}{S_{\text {直观图 }}}=2 \sqrt{2}\)， 可得\(S_{\text {原图 }}=2 \sqrt{2} \cdot S_{\text {直观图 }}=2 \sqrt{2} \times \sqrt{6}=4 \sqrt{3}\)， 那么\(△ABC\)的面积为\(4 \sqrt{3}\)． 故选：\(D\)．

答案\(A\) 解析 根据题意，在等边\(△ABC\)中，\(BC=4\)，则\(AO=2\sqrt{3}\)，则有 \(S_{\triangle A B C}=\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{3}=4 \sqrt{3}\)， 则其直观图的面积\(S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4} S_{\triangle A B C}=\sqrt{6}\)， 故选：\(A\)．

答案 ③ 解析 对于①，例如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故①错 对于②，相等的线段在直观图中仍然相等，例如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，②错误； 对于③，由于斜二测画法的法则是平行于x的轴的线平行性与长度都不变；但平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半，故③正确； 故答案为：③．

答案 \(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 解析 因为\(\angle A B C=45^{\circ}\)，\(AB=AD=1\)，\(DC⊥BC\)， 所以 \(\mathrm{BC}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)， \(A^{\prime} D^{\prime}=1\)，\(A^{\prime} B^{\prime}=2\)，\(B^{\prime} C^{\prime}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)， 所以 \(S=\dfrac{1}{2}\left(A^{\prime} D^{\prime}+B^{\prime} C^{\prime}\right) \cdot A^{\prime} B^{\prime}=\dfrac{1}{2} \times\left(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \times 2=2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)． 故答案为：\(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)．

解析 ①如图(1)，将\(A\)点和原点\(O\)重合，\(AB\)和\(x\)轴重合，\(AE\)与\(y\)轴重合．通过\(C\)分别作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线，垂足分别为\(H\)，\(I\)，通过\(D\)分别作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线，垂足分别为\(F\)、\(G\)； ②如图(2)，作坐标系\(x'Oy'\)，\(x'\)轴和\(y'\)轴的夹角为\(45^{\circ}\)，在\(x'\)轴上取点，使得：\(A'\)与\(O'\)重合，\(A'F'=AF\)，\(A'B'=AB\)，\(A'H'=AH\)； ③如图(2)，在\(y'\)轴上取点，使得：\(A' I'=\dfrac{1}{2} AI\),\(A' E'=\dfrac{1}{2} AE\),\(A' G'=\dfrac{1}{2} AG\)； ④如图(2)，过\(H'\)作\(y'\)轴平行线，过\(I'\)作\(x'\)轴平行线，两平行线交于\(C'\)，过\(F'\)作\(y'\)轴平行线，过\(G'\)作\(x'\)轴平行线，两平行线交于\(D'\)； ⑤如图(2)，依次连接\(B'\)、\(C'\)，\(D'\)、\(E'\)即可完成作图．

答案 ，原图形的面积是\(8\) 解析 ①画轴：在菱形\(ABCD\)中，分别以\(AB\)、\(AD\)所在的直线为\(x'\)轴、\(y'\)轴建立坐标系\(x'O'y'\)如图\(1\)， 另建立平面直角坐标系\(xOy\)，如图\(2\)； ②取点：在坐标系\(xOy\)中，分别在\(x\)轴、\(y\)轴上去点\(B'\)\(、D'\)，使\(A'B'=AB\)(\(A'\)与\(O\)重合，\(A\)与\(O'\)重合)， \(A'D'=2AD\)，过点\(D'\)作\(D'C'∥x\)轴，且\(D'C'=DC\)； ③连接：连接\(B'C'\)，得到的矩形\(A'B'C'D'\)即为这个四边形的原图形；且原图形的面积为\(S=2×4=8\)．  

1.某几何体底面的四边形\(OABC\)直观图为如图矩形\(O_1 A_1 B_1 C_1\)，其中\(O_1 A_1=6\)，\(O_1 C_1=2\)，则该几何体底面对角线\(AC\)的实际长度为(　　)  A．\(6\)\(\qquad \qquad \qquad\) B．\(4\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(4\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D． \(2 \sqrt{10}\)  

参考答案