物理学网络课程(第三版)

    9-2  在一个容器内盛有理想气体，而容器的两侧分别与沸水和冰相接触(热接触)。显然，当沸水和冰的温度都保持不变时，容器内理想气体的状态也不随时间变化。问这时容器内理想气体的状态是否是平衡态？为什么？

    解  不是平衡态，因为平衡态的条件有二：一是系统的宏观性质不随时间变化，二是没有外界的影响和作用。题目所说的情况不满足第二条。

    9-3  氧气瓶的容积是32 dm3 ，压强为130 atm，规定瓶内氧气的压强降至10 atm时，应停止使用并必须充气，以免混入其他气体。今有一病房每天需用1.0 atm的氧气400 dm3 ，问一瓶氧气可用几天？

    解  当压强为、体积为时，瓶内氧气的质量M1为

                               .

当压强降至、体积仍为时，瓶内氧气的质量M2为

                               .

病房每天用压强为、体积为的氧气质量Dm为

                               .

一瓶氧气可用n天：

      .

    9-4  在一个容积为10 dm3 的容器中贮有氢气，当温度为7℃时，压强为50 atm。由于容器漏气，当温度升至17℃时，压强仍为50 atm，求漏掉氢气的质量。

    解  漏气前氢气的质量为M1 , 压强为, 体积为, 温度为，于是M1可以表示为

                               .

漏气后氢气的质量为M2 , 压强为, 体积为, 温度为, 于是M2可以表示为

                               .

所以漏掉氢气的质量为

                .

计算中用到了氢气的摩尔质量。

    9-5  气缸中盛有可视为理想气体的某种气体，当温度为T1 = 200 K时，压强和摩尔体积分别为p1 和Vm1 。如果将气缸加热，使系统中气体的压强和体积同时增大，在此过程中，气体的压强p和摩尔体积Vm满足关系p = aVm，其中a为常量。

    (1)  求常量a；

    (2)  当摩尔体积增大到2Vm1 时，求系统的温度。

    解 

    (1)  1 mol理想气体的物态方程可以表示为

                                 ,

当温度为T1 (= 200 K)、压强为p1 和摩尔体积为Vm1时，上式应写为

                                .                         (1)

升温过程满足

                                  ,

在温度为T1 时，上式应写为

                                  ,                         (2)

将式(2)代入式(1)，得

                                 .                         (3)

由上式可以解得

                             或  .

    (2)  根据式(3)可以得到

                                  ,

取，代入上式，得

                                 ,                        (4)

将式(4)与式(3)联立，可以求得

                      .

    9-8  证明式(9-9)。

    解  的平均值定义为

                          .

在以下的证明中用到上面的关系。

    下面的关系显然是成立的：

                           ,

                             ,

                                    …

                            .

将以上N个式子相加并除以粒子总数N，得

,

即

                             .

证毕。

    9-9  容器内贮有氧气，如果压强为1.0 atm，温度为27℃，求：

    (1)  单位体积内的分子数n；

    (2)  分子间的平均距离；

    (3)  容器中氧气的密度r；

    (4)  分子的平均平动动能。

    解 

    (1)  单位体积内的分子数n

                  .

    (2)  分子间的平均距离

                   .

    (3)  容器中氧气的密度r

                  .

    (4)  分子的平均平动动能

                 .

    9-10  容器内盛有1.50 mol氮气，其分子热运动动能的总和为9.63´103 J，求容器内氮气的温度。

    解  设系统内气体的温度为T，分子热运动动能的总和，就是3个平动、2个转动和1个振动自由度上平均动能之和，即

                   ,

所以

                       .

    9-11  在一个容积为10.0 dm3 的密封容器内盛有50.0 g氩气，温度为180℃，容器以200 m×s-1 的速率作匀速直线运动，如果容器突然停止，分子定向运动的动能全部转化为热运动动能。问当系统达到平衡态时，容器内氩气的温度和压强各增大多少？

    解  整体作定向运动的动能，就是全部氩分子共同作定向运动的动能：

             .

全部转变为氩分子热运动动能，气体的温度将升高DT，于是

                              .

氩分子是单原子分子，只有3个平动自由度，即i = 3 。代入上式就可以求得DT

              .

    根据物态方程

                                ,

可得

                               .

由上式可解得系统压强的增加Dp

               .

    9-12  分别计算在300 K时1.00 mol氢气和1.00 mol氦气的内能。

    解  1.00 mol气体的内能可以表示为

                               .

氢气是双原子分子气体，理论上有6个自由度(t = 3, r =2, s = 1)，内能为

                        .

而实验表明在室温下氢分子的振动自由度不被激发，所以内能应为

                        .

    氦气分子是单原子分子，i = t = 3, r = 0, s = 0, 代入内能表达式，得

                           .

    9-13  将10 g氧气(看作理想气体)从20℃加热到50℃，内能增大多少？

    解  氧气分子是双原子分子，t = 3, r = 2, s = 1, 内能的增加为

      .

    9-14  某种三原子分子气体被看作理想气体，试写出分子平均平动动能、平均转动动能和平均振动动能的表达式。

    解  对于三原子分子，平动自由度t = 3，转动自由度r = 3，振动自由度s = 3。

    分子的平均平动动能为

                             ,

分子的平均转动动能为

                             ,

分子的平均振动动能为

                             .

    9-16  说明以下各式的物理意义：；；；；；。

    解 

    (1)  表示在dv范围内的分子数占分子总数N的比率；

    (2)  =dN 表示在dv范围内的分子数；

    (3)  表示在v1 ~ v2 速率间隔内的分子数占分子总数N的比率；

    (4)  表示在v1 ~ v2 速率间隔内的分子数；

    (5)  表示在v1 ~ v2 速率间隔内的分子对平均速率的贡献；

    (6)  表示在v1 ~ v2 速率间隔内分子对速率平方平均值的贡献。

    9-17  求温度为300 K时氧分子的最概然速率、平均速率和方均根速率，并分别阐明这三种速率的物理意义。

    解  最概然速率

              ,

表示系统中在此值附近的速率间隔内的分子所占比率为最大。

    平均速率

                         ,

表示系统中分子速率的算术平均值。

    方均根速率

                        ,

表示系统中分子速率平方平均值的平方根。

    9-18  求速率处于vp与1.01vp之间的气体分子数占总分子数的百分比。

    解  速率分布函数可以具体写为

                   .

将，和代入上式，得

            ,

并且

                         .

由上式得

                ,

所以

                      .                 (1)

当，时，

                                 ,

                          ,

将以上两式代入式(1)，得

                      .

    9-19  求在标准状态下1.00 cm3 氮气中速率在500 m×s-1 到501 m×s-1 之间的分子数(可将dv近似地取为1 m×s-1 )。

    解  先求在0℃时1.00 cm3 中氮气的分子数N：

                  .

                .

将, , 以及代入上式，得

    9-20  系统中总共有N个分子，分别求速率高于最概然速率和低于最概然速率的分子数占总分子数的百分数。

    解  根据题9-18的结果

                       ,

其中

                            ,   .

分子速率低于最概然速率vp ，对应于，所以，速率低于最概然速率的分子数占总分子数的比率可以表示为

        .

为求解上式，令, ，代入上式，得

                          .

上式可用分部积分法求解，为此令, , 则上式变为

          ,

查表得

                          ,

于是得

                                              .

即速率低于最概然速率的分子数占总分子数的比率为42.8%，而速率高于最概然速率的分子数占总分子数的比率为1 - 42.8 % = 57.2 % 。

    9-21  已知氧的范德瓦耳斯常量b = 31.83´10-6 m3 ×mol-1 ，试估计氧分子的半径。

    解  我们已经知道范德瓦耳斯常量b大约等于1 mol气体分子自身体积总和的4倍，所以

                         .

由上式可以解得氧分子的半径，为

                 .

    9-22  二氧化碳和氢的范德瓦耳斯常量a分别为3.59´10-6 atm×m6×mol-2 和0.244´10-6 atm×m6×mol-2，求体积为22.4 dm3 的两种气体的内压强pi。

    解  22.4 dm3正好是在标准状态下的摩尔体积，气体的内压强应表示为

                                 .

对于二氧化碳：

                   .

对于氢：

                   .

    9-23  已知氧的范德瓦耳斯常量a = 1.36´10-6 atm×m6×mol-2，b = 31.8 ´ 10-6 m3 ×mol-1 ，求

    (1)  压强为100 atm、密度为100 g×dm-3 的氧气系统的温度；

    (2)  氧的临界压强pK 和临界温度TK 。

    解 

    (1)  范德瓦尔斯方程为

                      ,

用体积V除以上式，得

                      ,

其中是气体的密度，为已知量，代入上式得

                        .

由上式解出T，得

                     .

    (2)  范德瓦尔斯常量可以表示为

                               ,                           (1)

                                 .                            (2)

由式(2)得

                                ,                            (3)

将式(3)代入式(1)，得

                                .

由上式可以解得临界温度

              .

将TK的表达式代入式(3)，得

         .

    9-24  一定量的理想气体，分别在体积不变和压强不变的条件下升温，分子的碰撞频率和平均自由程将怎样变化？

    解 

    当体积不变时：

                      ,

由上式可见，在N和V一定的情况下，，碰撞频率随温度上升而增大。

    平均自由程可以表示为

                       ,

可见，在N和V一定的情况下，平均自由程与温度无关。

    当压强不变时：

            ,

上式表明，在压强不变的情况下，，碰撞频率随温度上升而减小。

    平均自由程可以表示为

                       ,

所以，在压强不变时，，平均自由程随温度上升而增大。

    9-25  设氮分子的有效直径为3.8´10-10 m，求：

    (1)  在标准状态下的碰撞频率和平均自由程；

    (2)  在温度不变而压强降为2.0´10-4 Pa时，碰撞频率和平均自由程。

    解 

    (1)  标准状态，，代入碰撞频率和平均自由程的表达式，分别得到

                    ,

                         .

    (2)  将，代入以上两式，可以分别求得

                                ,

                                .

    也可以这样来处理：

                                 ,

即

                                  .

将已知各量代入上式，可以求得。

    对于平均自由程也可以作同样的处理，即

                                 ,

所以

                                 .

    9-26  当温度为27℃时，电子管内的真空度为1.0´10-5 mmHg，残余气体分子的有效直径为3.0´10-10 m，求：

    (1)  单位体积中的分子数；

    (2)  平均自由程和碰撞频率。

    解 

    (1)  单位体积中的分子数

                          .

    (2)  平均自由程

                            .

    碰撞频率为

                          .

    9-28  由实验测得在标准状态下氦气的黏度为h = 1.89´10-5  Pa×s，求：

    (1)  平均自由程度；

    (2)  氦原子的有效直径。

    解 

    (1)  根据公式

                                ,

只要求出其中的和，代入上式就可以算出平均自由程。

                        ,

              .

所以

                          .

    (2)  氦原子的有效直径：根据

                              ,

可以求得氦原子的有效直径为

                      .

    9-29  已知氦和氩的原子量分别为4.00和39.95，它们在标准状态下的黏度分别为hHe =1.89´10-5  Pa×s和hAr =2.10´10-5  Pa×s，求：

    (1)  氦和氩的热导率之比 k(He)/k(Ar)；

    (2)  氦和氩的扩散系数之比 D(He)/D(Ar)。

    解 

    (1)  因为

                                ,

所以

                         .

式中是比热，是摩尔热容，m是摩尔质量，它们之间有如下关系

                                .

He和Ar都是单原子气体，所以

                              .

故有

              .

    (2)  扩散系数可以表示为

                       .

于是有

                       .

    9-33  组成晶体的原子之间的相互作用势能u(r) 可以用式(9-66)表示，并可以描绘成图9-24所示的图线，试证明此式中m > n，并说明此结果的物理涵义。

    解  题目要求证明在下式

                                                        (1)

中，。

    由教材中图9-24(a)可以看到，u(r)存在极小值，此极小值对应于。也就是说在处满足下面两个关系：

                              ,                            (2)

                              .                           (3)

将式(1)代入式(2)，得

                        ,

由此解得

                             .                           (4)

由式(3)得

                    ,

可化为

                             .

将式(4)代入上式，得

                     ,

即

                              .

要求上式左边大于零，就必须有

                                  .

这表明，随原子间距的增大，斥力势要比引力势衰减得更快，也就是说斥力作用与引力作用相比更具有短程性。

    9-36  在深为h = 2.0 m的水池底部有一个直径为d = 5.0´10-5 m的气泡，当它等温上升到接近水面时,直径变为多大？已知水的表面张力系数s = 7.3´10-2 N×m-1 。

    解  设水泡到达水面时的半径为R1，在等温的情况下，应满足

                                ,

或

                               .

式中p1、V1分别是气泡在池底时的内部的压强和体积，p2、V2分别是气泡接近水面时的内部的压强和体积。于是可以列出下面的方程式：

                   ,

简化为

                      .

由上式可以解出气泡接近水面时的直径，为

                          .

    9-37  当把毛细管插入水杯时，毛细管中的水面要上升。若对于某一直径的毛细管，水面上升的高度为h，问当毛细管本身高出杯中水面的高度小于h时，水是否会从毛细管中溢出？为什么？

    解  不会溢出，因为此时水在毛细管上端虽然仍形成凹球面，不过其曲率半径

比原来毛细管本身高出杯中水面的高度大于h时的曲率半径要大一些，因而所产生

的附加压强比原来要小一些，只能使水达到毛细管的上端。

图9-7

    9-38  如图9-7所示，在半径为r = 3.0´10-4  m的毛细管中注水，一部分水在管的下部形成一水柱，水柱的下端面的形状可以认为是半径为R = 3.0´10-3 m的球面的一部分。求管中水柱的高度h。已知水的表面张力系数s = 7.3´10-2 N×m-1 。

    解  水柱不会落下来，是由于水柱上、下两端形成两个球面，从而产生了附加压强的缘故。水柱下端面施于水柱向上的力FA与水柱上端面施于水柱向下的力FB和水柱自身重量mg相平衡，即

                       ,                     (1)

式中的每一项都包含毛细管截面积这个因子，可以约去，于是式(1)变成下面的形式：

                       ,                    (2)

式中

                               ,

                                    .

将以上两式代入式(2)，就可以求得管中水柱的高度h，为

                   .

    9-39  一均匀玻璃管的内直径为d = 4.0´10-4 m，长为l0 = 0.20 m，将它水平地浸在水银槽中，其中的空气全部留在管内。若管子浸在深度为h = 0.15 m处，问管中空气柱的长度l为多大？已知大气压强为p0 = 760 mmHg，水银的表面张力系数为s = 0.49 N×m-1 ，水银与玻璃的接触角为q  = p。

    解  在等温的情况下，应满足

                                pV = C ,

或

                              .

上式可具体写为

                       ,

将，和代入上式，得

                          .