客户生命周期（LT）为何是流失率（Churn Rate）的倒数

在

文中曾经埋了这么一个坑：

由于有时候客户生命周期很难直观获得，在计算生命周期时，我们可以使用如下公式：

LT = 1 / Customer Churn Rate

其中，Customer Churn Rate为客户的流失率，一般通过当期（月度或年度）流失的客户数/总客户数得来。

很多细心的读者对此提出了疑问，凭什么“客户生命周期就是流失率的倒数”呢？

Prash Majmudar有个帖子很好的解释了这个问题。本文就是对这个帖子的整理和发展。

首先，解释一下客户流失到底是什么意思。我们可以将客户流失定义为一年结束时客户离开我们的概率。例如，如果客户流失率是50%，那么年底时，客户流失的概率和抛硬币猜正反面是类似的：正面客户会流失，反面客户会续约。当然，我们可以选择任何时间长度来考虑这个问题，不一定非要一年，例如，可以统计每天、每周或每月的客户流失情况。

显然50%的流失率高得离谱，现在我们假设流失率为20%。我们可以得到一年后，客户流失的概率P等于：

P（Y=1）= 0.2

我们还可以问这样一个问题：客户两年后流失的概率是多少？在这种情况下，他们第1年续约(续约概率为0.8)，但在第2年年底流失了。所以2年后客户流失的概率是:

P（Y=2）=0.8 * 0.2 = 0.16

因此，两年后客户流失的概率为0.16或16%。同样我们可以问一个客户在3年甚至10年(9次续约后流失)后流失的概率是多少?

P（Y=3）=0.8*0.8*0.2=0.128

P（Y=10）=0.8*0.8*0.8*0.8*0.8*0.8*0.8*0.8*0.8*0.2=0.027

我们计算出，一个客户3年后流失的概率为0.128，或者说，该客户拥有3年的客户生命周期。同样，我们也可以说客户有2.7%的概率拥有10年的生命周期。

第10年的那个计算写起来有点乏味，我们可以把它写得更一般些:

p为客户流失率，在0和1之间。

我们发现，上面这个方程描述的就是典型的几何分布，这是一种离散型概率分布，用于模拟直到一个事件发生(在我们的例子中，是指客户流失)，某个试验进行的次数(在我们的例子中，试验是客户决定续约或流失的连续年份)的概率分布。

为了说明它与我们之前的例子之间的关系，对于20%的流失率，p=0.2，带入公式:

得到，

化简得到，