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第六讲 中值定理介值定理导数介值定理
平均值定理费马定理罗尔定理构造辅助函数通用法则
拉格朗日中值定理多次使用拉格朗日
柯西中值定理泰勒公式
第六讲 中值定理
介值定理
导数介值定理 证明: 与函数的介值定理不同,函数的介值定理要求函数连续,但是在这里,只需要满足: 这一点即可。 这是因为 如果一个函数可导,那么这个导函数不可能存在跳跃间断点。 也不会存在可去间断点和无穷间断点(但是有可能会有振荡间断点,但是不会违背导数介值定理) (因为即使是振荡间断点,也可以取得-1到1所有的值,因此不会违背导数介值定理) 平均值定理例题: 看到多个相加的 用平均值定理,加起来除以个数。然后再用罗尔定理 积分中值定理还可以理解为平均值定理 费马定理证明过程: 如果表达式大于或小于零 并且极限存在 则根据极限的保号性定理 极限的符号就等于表达式的符号 看到导数想到用定义,定义写出来后可以发现f(x)不是在端点而是在区间内取得最大值,说明存在极值,则可以用费马定理 由此可以引申出这样的一个结论: 罗尔定理推广的罗尔定理可以直接使用 因此 证明某点导函数值为零可以有以下的思路: 除了这种考法,还有另外的考法: 构造辅助函数例如: 对于1.6.6 应该把1移过去 然后可以发现 再例如 通用法则例如1.6.6: 1.6.3: 第一种方法: 可以从需要证明的东西出发: 例如这个 移项后 构造 其实看到这个可以想到积分中值定理(也就是平均值定理) 第二种方法: 出题人所给的提示就是这个东西 因此这里可以构造函数: 令F(X)就等于这个 然后其实这两种方法只差了一个常数: 而常数对于求导来说没什么区别 1.6.6 在证第二问的时候遇到了困难,这时候困难就需要用到第一问的结论 另外一种考法,多次使用罗尔定理: 在上图 三次使用了罗尔定理:三点相同,就可以证二阶导等于零 例题: 需要用到的知识: 我们需要证明这个: 根据下节的拉格朗日: 题目又给了积分: 已知变限积分: 因此见到定积分想到这两种: 想到可以用拉格朗日: 但是总结下来可以知道第一问可以直接使用平均值定理: 第二问 同样用平均值定理 这样就可以得到三个相等的点,就可以使用过罗尔定理了 然后使用三次罗尔定理 罗尔定理的难点在于构造函数和找相同的点 拉格朗日中值定理特殊的0和1: 因此,上面那题的那一问还可以这样写:
观察这题所要证明的东西可以看到与罗尔定理有类似之处,说下区别: 首先拉格朗日可以推罗尔: 如果要证导数=0用罗尔,如果要证一阶导数等于一个函数值用拉格朗日 多次使用拉格朗日证明两个不同的值相等的时候,不能在一个区间内使用拉格朗日,因为如果在一个区间内使用拉格朗日会导致两个值可能是相同的。此时需要划分区间,然后在不同的区间使用。 然后对其取倒数后可得: 那么接下来需要证明: 所以接下来只要取f(τ)=1/2即可 而根据介值定理 一定存在τ属于(0,1)使得f(τ)=1/2 所以如果是考研题会有个第一问: 柯西中值定理(柯西不是由两次拉格朗日除法得出的) 另外 柯西中值定理考的较少 33年只有2000考过一次 柯西取g(x)=x可以推出拉格朗日 拉格朗日取f(a)=f(b)可以推出罗尔定理 (正好柯西的老师是拉格朗日,拉格朗日老师是罗尔,一代一代发扬光大tql) 例题: 泰勒公式说到区间时用拉格朗日,说到极限时可用佩亚诺余项 并且还需要注意这两个定理成立的条件: 例题: 接下来看这题的第二问: 看到所要证明的东西中有积分和对称区间,我们联想到: 首先对于积分形式 有这样的一个关系:奇函数在对称区间积分和为零) 接下来在第一问的基础上,两边取积分: 接下来其实最关键的一步 就是用有界最值定理了 1和2的联系:积分 2和3的联系:拉格朗日 2和4的联系:泰勒 |
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