3. 覆叠与纤维化

定义 3.1. 令 p:E→B 是 Top 中的态射. 态射 p 在开集 U⊂B 上的一个平凡化是指一个 U 上的同胚 φ:p−1(U)→U×F, 即要让下图交换如果存在 B 的开覆盖 U 使 p 在每个开集 U∈U 上均有平凡化, 就说 p 是局部平凡的. 这样的 p 就叫纤维丛, F 叫做纤维, B 叫做底空间. 只要在上下文中不引起歧义, 我们就将它记为F→E→B.如果我们可以找到整个 B 上的平凡化 p, 那么 E 就同胚于 F×B, 我们就称 p 是一个平凡纤维丛.

例子 3.2. 投影映射Rm+n(x1​,⋯,xn​,⋯,xn+m​)​→↦​Rn,(x1​,⋯,xn​)​​是以 Rm 为纤维的纤维丛.

例子 3.3. 流形上秩为 n 的实向量丛是一个以 Rn 为纤维的纤维丛.

例子 3.4. 我们视 S2n+1 为 Cn+1 中的单位球, 以如下方式参数化:S2n+1={z0​,z1​,⋯,zn​∈Cn+1∣∣z0​∣2+∣z1​∣2+⋯+∣zn​∣2=1}.S1 在 S2n+1 上有一个自然的作用, 由下式给出:eiθ:(z0​,⋯,zn​)↦(eiθz0​,⋯,eiθzn​),eiθ∈S1.该作用是自由的, 其轨道空间可以视为 n-维复射影空间 CPnS2n+1/S1≅CPn=(Cn+1−{0})/C∗.这时, 投影映射 S2n+1→CPn 就是一个以 S1 为纤维的纤维丛. 一个不平凡的事实是, 这样的纤维丛并不平凡. n=1 的情况给出了饶富趣味的 Hopf 纤维化S1→S3p​S2=CP1.

在这一情况下, 投影将 (z0​,z1​)∈S3⊂C2 送到 z0​/z1​∈S2=C∪{∞}. 在极坐标下我们有r02​+r12​=1且p(z0​,z1​)=(r0​/r1​)ei(θ0​−θ1​)其中 zj​=rj​eiθj​. 对于固定的 ρ=r0​/r1​, 我们得到 S3 中的一个环面 Tρ​.

当我们将 S3 等同于 R3 的紧化 (或者考虑 S3→R3 的球极投影) 时, 我们便可直观看到 (图 1) R3 上由 Tρ​ 构成的叶状结构 (foliation), 其中 T0​ 退化为 R3 中 xy-平面上的单位圆, T∞​ 退化为 z-轴. 每个 S1-纤维均是一个环面 Tρ​ 上斜率为 1 的简单闭曲线, 而投影的象恰好是 R3 中 (对固定的 ϕ∈R) 半平面{(rcos(φ),rsin(φ),z)∣r>0,z∈R}的紧化 S2.

图 1. Hopf 纤维化的直观表示

进一步, S1 中任意两个不同点处的纤维的不交并事实上称为 Hopf 链环, 如图 2 所示. 这样的链环并不平凡, 于是 Hopf 纤维化不是平凡纤维丛.

图 2. Hopf 链环

定义 3.5. 覆叠 (空间) 是带离散纤维 F 的局部平凡映射 p:E→B. 一个覆叠映射如果是平凡纤维丛, 便又称为平凡覆叠. 如果我们想明确纤维, 我们就称它是 F-覆叠. 如果纤维 F 有 n 个点, 我们也称它是 n-重覆叠.

图 3. 平凡化 (左) 与覆叠 (右)

例子 3.6. 映射 exp:R1→S1,t→e2πit 是一个 Z-覆叠.

图 4. S1 的 Z-覆叠

如果 U=S1−{−1}, 那么exp−1(U)=n∈Z⨆​(n−21​,n+21​).

例子 3.7. 对任意 n∈Z−{0}, 映射 S1→S1,e2πiθ↦e2πinθ 是一个 ∣n∣-重覆叠.

例子 3.8. 映射 C→C, z↦zn 不是覆叠 (为什么?). 但

•

映射 C∗→C∗, z↦zn, 是一个 ∣n∣-重覆叠, 其中 C∗=C−{0} 且 n∈Z−{0}.

•

映射 exp:C→C∗, z↦e2πiz 是一个 Z-覆叠.

例子 3.9 (取自 Hatcher [??]). 8 字形有下面两种覆叠 (左为一 2-重覆叠, 右为一 3-重覆叠). 4-正则树 (regular tree) 是其万有覆叠 (单连通的覆叠), 见图 5.

图 5. 4-正则树

例子 3.10. 回忆洞的个数 (亏格) 和边界分支个数决定了紧有向拓扑曲面的同胚类. 令 Sg,b​ 是亏格 g 有 b 个边界分支的曲面.

•

S4,0​ 有一个来自 S22,0​ 的 7-重覆叠, 参见图 6.

•

一般地, Sg,b​ 有一个来自 Smg−m+1,mb​ 的 m-重覆叠.

图 6. 7-覆叠

例子 3.11. 用 RPn 表示 n 维的实射影空间RPn=Rn+1−{0}/(x​∼tx​),∀t∈R−{0},x​∈Rn+1−{0}.令 Sn 是 n-维球面. 则有自然的二重覆叠 Sn→RPn.

例子 3.12 (分歧二重覆叠). 图 7 展示了圆盘的一个分歧二重覆叠:ι:Σn​→D2,在 n 个点处分歧.

图 7. Birman-Hilden 通过扭曲的曲面实现的二重覆叠

置言之, 如果从从 Σn​ 和 D2 中将这 n 个 (红) 点 (记为 Δ) 移除, 我们就得到一个二重覆叠:ι:Σn​\Δ2:1​D2\Δ和一个 Δ 的双射 ι:Δ→Δ.

定义 3.13. 令 p:E→B,f:X→B. f 沿着 p 的一个提升是一个映射 F:X→E 使得 p∘F=f

引理 3.14. 令 p:E→B 为覆叠. 令DZ​={(x,x)∈E×E∣x∈E}={(x,y)∈E×E∣p(x)=p(y)}.​则 D⊂Z 既开又闭.

□

定理 3.15 (提升的唯一性). 令 p:E→B 是一个覆叠. 令 F0​,F1​:X→E 是 f:X→B 的两个提升. 假设 X 连通, F0​,F1​ 在某处相等. 则 F0​=F1​.

□

=========================================================

========================================================= (...)