复变函数：第四章

设幂级数 ∑∞n=0Cn(z−z0)n ∑ n = 0 ∞ C n ( z − z 0 ) n 的收敛半径为 R R ，它的和函数f(z)=∑∞n=0Cn(z−z0)nf(z)=∑n=0∞Cn(z−z0)n是收敛圆： |z−z0|z0z0为 D D 上一点，CC为 D D 内包围z0z0的任意一条正向简单闭围线，它的内部完全包含 D D ，则：f(z)=12πi∮Cf(z)z−z0dzf(z)=12πi∮Cf(z)z−z0dz

推广：设 f f 在一条正向的简单闭围线CC及其内部的所有点上解析，若 z0 z 0 是 C C 内的任意一点，则fn(z)=n!2πi∮Cf(z)(z−z0)n+1dzfn(z)=n!2πi∮Cf(z)(z−z0)n+1dz

11−z=∑+∞n=0zn 1 1 − z = ∑ n = 0 + ∞ z n

11+z=11−(−z)=∑+∞n=0(−1)nzn 1 1 + z = 1 1 − ( − z ) = ∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n z n

sinz=∑+∞n=0(−1)nz2n+1(2n+1)n=z−z33!+z55!+...+(−1)nz2n+1(2n+1)!+... s i n z = ∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) n = z − z 3 3 ! + z 5 5 ! + . . . + ( − 1 ) n z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + . . .

cosz=∑+∞n=0(−1)nz2n(2n)n=1−z22!+z44!+...+(−1)nz2n(2n)!+... c o s z = ∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n z 2 n ( 2 n ) n = 1 − z 2 2 ! + z 4 4 ! + . . . + ( − 1 ) n z 2 n ( 2 n ) ! + . . .

(sinz)n=sin(z+n⋅π2) ( s i n z ) n = s i n ( z + n ⋅ π 2 )

(sinz)n|z=0=sin(nπ2)={(−1)k0n=2k+1n=2k ( s i n z ) n | z = 0 = s i n ( n π 2 ) = { ( − 1 ) k n = 2 k + 1 0 n = 2 k

eg：

求 f(z)=1(1+z)2 f ( z ) = 1 ( 1 + z ) 2 的Tayer级数

∵11+z=∑∞n=0(−1)n⋅zn ∵ 1 1 + z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ⋅ z n

∴1(1+z)2=−(11+z)′=−∑∞n=0[(−1)n⋅(zn)]′=−∑∞n=0(−1)n−1⋅n⋅zn−1 ∴ 1 ( 1 + z ) 2 = − ( 1 1 + z ) ′ = − ∑ n = 0 ∞ [ ( − 1 ) n ⋅ ( z n ) ] ′ = − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n − 1 ⋅ n ⋅ z n − 1

eg：

求 ln(1+z) l n ( 1 + z ) 在 z=0 z = 0 处的泰勒展开式

dln(1+z)dz=11+z=∑∞n=0(−1)n⋅zn d l n ( 1 + z ) d z = 1 1 + z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ⋅ z n

ln(1+z)=∫z0dln(1+z)dzdz l n ( 1 + z ) = ∫ 0 z d l n ( 1 + z ) d z d z

               =∫n011+zdz                               = ∫ 0 n 1 1 + z d z

               =∫n0[∑∞n=0(−1)nzn]d                               = ∫ 0 n [ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z n ] d

               =∑∞n=0(−1)n⋅∫n0zndz                               = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ⋅ ∫ 0 n z n d z

               =∑∞n=0(−1)n⋅zn+1n+1                               = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ⋅ z n + 1 n + 1

      f(z)             f ( z ) 在 z0 z 0 处解析

⇔f(z) ⇔ f ( z ) 在点 z0 z 0 的某邻域 U:|z−z0|R1f(z)=∑+∞n=−∞an(z−z0)nf(z)=∑n=−∞+∞an(z−z0)n

an=12πi∮γf(δ)(δ−z0)n+1dδ a n = 1 2 π i ∮ γ f ( δ ) ( δ − z 0 ) n + 1 d δ ，其中 γ γ 为圆周 |z−z0|