《离散时间信号处理》

写在前面：本博客是《离散时间信号处理》奥本海姆第三版的学习笔记，仅供个人学习记录使用

频域分析可以将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而显示信号中各个频率分量的存在情况。通过观察频谱，我们可以识别信号中存在的频率成分，包括主要频率、谐波频率和噪声成分等。这对于理解信号的频率特性以及进行信号识别和分类非常有用。

傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。这个频域表示提供了信号中各个频率分量的信息，包括它们的振幅和相位。通过分析频域表示，我们可以更好地理解信号的频率特性，例如频率分量的存在、强度和分布情况。

傅里叶变换适用于连续时间信号的频域分析，但对于包含复杂因子（如指数衰减因子）的信号，无法完整表示其频谱特性。为了克服这个限制，拉普拉斯变换引入了复平面上的复杂频率变量s，可以更全面、更准确地描述信号的频率特性和系统的动态行为。

拉普拉斯变换适用于连续时间信号和系统的频域分析，但对于离散时间信号和系统，无法直接应用。为了能够处理和分析离散时间信号和系统，Z变换引入了离散频率变量z，将离散信号和系统从时域转换到频域。

总结： （1）在时域上很复杂的信号在频域上往往很简单，傅里叶变换将一个信号从时域转换到频域，但是傅里叶变换的频域表示只能覆盖实轴上的频率范围，而拉普拉斯变换提供了复平面上的频域表示，引入了复频率变量s，扩展了傅里叶变换的应用范围，适用于连续时间系统的频域分析。Z变换引入了离散频率变量z，扩展了拉普拉斯变换的应用范围，适用于离散时间系统的频域分析。 （2）信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换(Fourier Transform)或拉普拉斯变换表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号（序列）表示，系统则用差分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换或Z变换表示。

（1）周期信号傅里叶级数的三角函数的线性组合表示 对于周期信号 f ( t ) f(t) f(t)，如果周期为 T T T，角频率 w = 2 π / T w=2\pi /T w=2π/T，频率 f = 1 / T f=1/T f=1/T，则其傅里叶级数展开式为： f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n w t ) + ∑ n = 1 ∞ b n s i n ( n w t ) f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}cos(nwt)+\sum_{n=1}^{\infty } b_{n}sin(nwt) f(t)=a0​+n=1∑∞​an​cos(nwt)+n=1∑∞​bn​sin(nwt)这种表示方法为三角函数的线性组合，这里， a n a_{n} an​和 b n b_{n} bn​称为傅里叶系数。 a 0 = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) d t a n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) c o s ( n w t ) d t , b n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) s i n ( n w t ) d t a_{0}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)dt\\a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)cos(nwt)dt,b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)sin(nwt)dt a0​=T1​∫−2T​2T​​f(t)dtan​=T2​∫−2T​2T​​f(t)cos(nwt)dt,bn​=T2​∫−2T​2T​​f(t)sin(nwt)dt （2）周期信号傅里叶级数的指数形式 周期信号的傅里叶级数也可以表示为指数形式： f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n w t , F n = 1 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) e − j n w t d t f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }F_{n}e^{jnwt},F_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-jnwt}dt f(t)=n=−∞∑∞​Fn​ejnwt,Fn​=T1​∫t0​t0​+T​f(t)e−jnwtdt第一个式子称为综合式，第二个式子称为分析式。 F n F_{n} Fn​为 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶级数系数。 （3）周期信号 f ( t ) f(t) f(t)的平均功率 P P P： P = ∑ n = − ∞ ∞ ∣ F n ∣ 2 P=\sum_{n=-\infty}^{\infty }|F_{n}|^{2} P=n=−∞∑∞​∣Fn​∣2 这个公式表明周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量有效值的平方和。又叫做帕塞瓦尔定理，即时域和频域能量守恒。

傅里叶正变换和逆变换： F ( w ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j w t d t ， f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( w ) e j w t d w F(w)=\int_{-\infty }^{\infty} f(t)e^{-jwt}dt，f(t)=\frac{1}{2\pi } \int_{-\infty }^{\infty} F(w)e^{jwt}dw F(w)=∫−∞∞​f(t)e−jwtdt，f(t)=2π1​∫−∞∞​F(w)ejwtdw这里 F ( w ) F(w) F(w)是 f ( t ) f(t) f(t)的频谱函数，可以写作： F ( w ) = ∣ F ( w ) ∣ e j φ ( w ) F(w)=|F(w)|e^{j\varphi (w)} F(w)=∣F(w)∣ejφ(w)通常把 ∣ F ( w ) ∣ ∼ w |F(w)|\sim w ∣F(w)∣∼w与 φ ( w ) ∼ w \varphi (w)\sim w φ(w)∼w曲线叫做非周期信号的幅度频谱和相位频谱。

傅里叶变换存在的充分条件是满足狄里赫利(Dirichlet)条件： （1）绝对可积条件： ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t < ∞ \int_{-\infty }^{\infty}|f(t)|dt