求导基础及常用函数的导数

​ 一些微积分的基础知识。

​ 我们对于一个函数所求的导函数实为：基于其图像中的每一点求其斜率的函数表达式。

​ f‘(x)f`(x)f‘(x) 表示函数 f(x)f(x)f(x) 的导函数，那么就有：

lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} h→0lim​hf(x+h)−f(x)​

​ 在熟练了求导过程之后，感性的理解，求导其实类似于一个降次的过程。

​ 而且求导可以进行多次，注意每次求导时常数项会化为 000。

​ 这里放几个普普通通的技巧：

​ 如果 h(x)=g(x)f(x)h(x)=g(x)f(x)h(x)=g(x)f(x)，则有 h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)h^\prime(x)=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)。

​ 如果 h(x)=f(x)g(x)h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}h(x)=g(x)f(x)​，则有 h′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2h^\prime(x)=\frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g(x)^{2} }h′(x)=g(x)2f′(x)g(x)−f(x)g′(x)​。

​ 如果 h(x)=f(g(x))h(x)=f(g(x))h(x)=f(g(x))，则有 h′(x)=f′(g(x))g′(x)h^\prime(x)=f^\prime(g(x))g^\prime(x)h′(x)=f′(g(x))g′(x)。

f(x)=xnf(x)=x^n f(x)=xn

lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=(x+h)n−xnh\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{ {(x+h)}^{n}-{x}^{n} }{h} h→0lim​hf(x+h)−f(x)​=h(x+h)n−xn​

​ 此时考虑对于 h→0h\rightarrow0h→0 时，任何包含 hhh 作为系数的多项式都为 000。

​ 那么原式可以化为：

xn+(n1)xn−1h−xnh\frac{x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}{h}-{x}^{n} }{h} hxn+(1n​)xn−1h−xn​

​ 所以，我们可以得出导函数为：

f′(x)=nxn−1f^\prime(x)=n{x}^{n-1} f′(x)=nxn−1

​ 其实三角函数在OI中的应用并不太广泛。

lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} h→0lim​hf(x+h)−f(x)​

​ 对 sin⁡(x+h)\sin(x+h)sin(x+h) 转化：

sin⁡(x+h)=sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h\sin{(x+h)}=\sin{x}\cos{h}+\cos{x}\sin{h} sin(x+h)=sinxcosh+cosxsinh

​ 带入原式，则：

lim⁡h→0sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h−sin⁡xh\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin{x}\cos{h}+\cos{x}\sin{h}-\sin{x} }{h} h→0lim​hsinxcosh+cosxsinh−sinx​

lim⁡h→0(sin⁡x(cos⁡h−1h)+cos⁡x(sin⁡hh))\lim_{h\rightarrow0}\bigg(\sin{x}(\frac{\cos{h}-1}{h})+\cos{x}(\frac{\sin{h} }{h})\bigg) h→0lim​(sinx(hcosh−1​)+cosx(hsinh​))

​ 易知h→0h\rightarrow0h→0 时，cos⁡h−1h→0\frac{\cos{h}-1}{h}\rightarrow0hcosh−1​→0 且 sin⁡hh→1\frac{\sin{h} }{h}\rightarrow1hsinh​→1，则得：

f′(x)=cos⁡xf^\prime(x)=\cos{x} f′(x)=cosx

lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} h→0lim​hf(x+h)−f(x)​

​ 对 sin⁡(x+h)\sin(x+h)sin(x+h) 转化：

cos⁡(x+h)=cos⁡xcos⁡h+sin⁡xsin⁡h\cos(x+h)=\cos{x}\cos{h}+\sin{x}\sin{h} cos(x+h)=cosxcosh+sinxsinh

​ 带入原式，则：

lim⁡h→0cos⁡xcos⁡h+sin⁡xsin⁡h−cos⁡xh\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos{x}\cos{h}+\sin{x}\sin{h}-\cos{x} }{h} h→0lim​hcosxcosh+sinxsinh−cosx​

lim⁡h→0(cos⁡x(cos⁡h−1h)+sin⁡xsin⁡hh)\lim_{h\rightarrow0}\bigg(\cos{x}(\frac{\cos{h}-1}{h})+\sin{x}\frac{\sin{h} }{h}\bigg) h→0lim​(cosx(hcosh−1​)+sinxhsinh​)

​ 易知 h→0h\rightarrow0h→0 时，cos⁡h−1h→0\frac{\cos{h}-1}{h}\rightarrow0hcosh−1​→0 且 sin⁡hh→1\frac{\sin{h} }{h}\rightarrow1hsinh​→1，则得：

f′(x)=sin⁡xf^\prime(x)=\sin{x} f′(x)=sinx

​ eee 即是自然常数，ln⁡\lnln 则是以 eee 为底数的自然对数。

​ 对于 eee 有一个非常著名的公式来作为他的定义：

lim⁡n→∞(1+rn)n=er\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{r}{n})^{n}={e}^{r} n→∞lim​(1+nr​)n=er

​ 而 eee 是一个无理数，大概的取值为 2.718281⋯2.718281\cdots2.718281⋯。

​ 据此得出推论：

lim⁡h→∞(1+xh)h=ex\lim_{h\rightarrow\infty}(1+\frac{x}{h})^{h}={e}^{x} h→∞lim​(1+hx​)h=ex

lim⁡h→0(1+xh)1h=ex\lim_{h\rightarrow0}(1+xh)^{\frac{1}{h} }={e}^{x} h→0lim​(1+xh)h1​=ex

f(x)=log⁡bxf(x)=\log_{b}x f(x)=logb​x

​ 运用导数定义法我们易知：

f′(x)=lim⁡h→0log⁡b(x+h)−log⁡bxhf^\prime(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\log_{b}{(x+h)}-\log_{b}{x} }{h} f′(x)=h→0lim​hlogb​(x+h)−logb​x​

lim⁡h→01hlog⁡b(x+hx)\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\log_{b}{(\frac{x+h}{x})} h→0lim​h1​logb​(xx+h​)

lim⁡h→0log⁡b((1+hx)1h)\lim_{h\rightarrow0}\log_{b}\big({(1+\frac{h}{x})}^{\frac{1}{h} }\big) h→0lim​logb​((1+xh​)h1​)

​ 那么，我们易知：

lim⁡h→0(1+hx)1h=e1x\lim_{h\rightarrow0}(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h} }={e}^{\frac{1}{x} } h→0lim​(1+xh​)h1​=ex1​

f′(x)=log⁡b(e1x)=1xlog⁡bef^\prime(x)=\log_{b}({e}^{\frac{1}{x} })=\frac{1}{x}\log_b{e} f′(x)=logb​(ex1​)=x1​logb​e

​ 此时运用换底公式：

log⁡ba=log⁡calog⁡cb\log_{b}{a}=\frac{\log_{c}{a} }{\log_{c}{b} } logb​a=logc​blogc​a​

​ 那么易知：

f′(x)=1xlog⁡eelog⁡eb=1xln⁡bf^\prime(x)=\frac{1}{x}\frac{\log_{e}{e} }{\log_{e}{b} }=\frac{1}{x\ln{b} } f′(x)=x1​loge​bloge​e​=xlnb1​

f(x)=bxf(x)={b}^{x} f(x)=bx

​ 考虑使用链式求导法则，令 h(x)=xh(x)=xh(x)=x，f(x)=bxf(x)={b}^{x}f(x)=bx，g(x)=log⁡bxg(x)=\log_{b}{x}g(x)=logb​x。

​ 那么易知：h(x)=f(g(x))h(x)=f(g(x))h(x)=f(g(x))，即 blog⁡bx=xb^{\log_{b}{x} }=xblogb​x=x，所以得：

h′(x)=f′(g(x))g′(x)h^\prime(x)=f^\prime(g(x))g^\prime(x) h′(x)=f′(g(x))g′(x)

h′(x)=1h^\prime(x)=1 h′(x)=1

g′(x)=1xln⁡bg^\prime(x)=\frac{1}{x\ln{b} } g′(x)=xlnb1​

​ 联立则有：

f′(log⁡bx)1xln⁡b=1f^\prime(\log_b{x})\frac{1}{x\ln{b} }=1 f′(logb​x)xlnb1​=1

f′(log⁡bx)=xln⁡bf^\prime(\log_{b}{x})=x\ln{b} f′(logb​x)=xlnb

​ 将 log⁡bx\log_b{x}logb​x 替换为 xxx，则有：

f′(x)=bxln⁡bf^\prime(x)={b}^{x}\ln{b} f′(x)=bxlnb

​ 特别地，令 b=eb=eb=e 时，f(x)=exf(x)={e}^{x}f(x)=ex，易得：

f′(x)=exf^\prime(x)={e}^{x} f′(x)=ex