12.1 常数项级数的概念和性质

2024-07-09 02:00| 来源: 网络整理| 查看: 265

思维导图：

第十二章: 无穷级数概述:

无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，主要用于表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算。本章内容包括：

常数项级数：介绍无穷级数的基本概念和性质。函数项级数：重点讨论函数展开成幂级数和三角级数的方法。第一节: 常数项级数的概念和性质 1. 常数项级数的概念

认识事物的数量特性：人们在理解事物的数量特性时，通常经历从近似到精确的过程。这涉及到从有限个数相加逐渐过渡到无穷多个数相加的概念。

例子：计算圆面积：

初步近似：以圆的内接正六边形面积a1作为圆面积A的近似。更好的近似：在内接六边形的基础上，通过增加等腰三角形的面积a2，得到正十二边形的面积，作为更好的近似。继续过程：继续此过程，不断增加边数，通过1,2,3,…a1,a2,a3,…逐渐逼近圆面积A。

此过程中，随着内接正多边形边数的无限增加，我们实际上考虑了一个无穷级数：

A=a1+a2+a3+…

这里1,2,3,…a1,a2,a3,…是构成级数的项。

一般定义：给定数列1,2,3,…m1,m2,m3,…，由这些数列构成的表达式

1+2+3+…m1+m2+m3+…

表示为无穷级数。

本章重点：理解无穷级数的基本概念和运算规则。学会将函数展开为幂级数或三角级数，掌握这些展开的应用。熟悉无穷级数的收敛性和性质，以及如何运用这些性质解决实际问题。

通过学习无穷级数，你将能够更深入地理解函数的性质和行为，以及如何利用级数解决复杂的数学和工程问题。

数学思想：无限的概念：无穷级数引入了处理无限过程的数学思想，挑战和扩展了我们对数量和极限的理解。近似与精确：通过无穷级数的学习，我们看到从近似到精确是数学中一个重要的思想，特别是在处理无法直接精确计算的问题时。整体与局部：无穷级数教会我们如何从局部（单个序列项）出发，逐步构建和理解整体（整个级数的和或行为）。数学方法：级数求和：学习如何处理和计算无穷多项相加的情况，以及如何判断一个级数是否收敛到一个确定的值。函数表示：通过幂级数和三角级数的学习，掌握将复杂函数表示为更简单形式的方法，这对于分析和解决实际问题极为重要。极限计算：无穷级数的研究强化了极限概念的理解和应用，尤其是在处理级数收敛性问题时。数学思维：抽象思维：无穷级数要求我们抽象思考，从具体的数和操作抽象出通用的规律和结构。逻辑推理：在判断级数收敛性及其性质时，逻辑推理是必不可少的，需要学会从已知条件推导出结论。创新解决问题：无穷级数的学习鼓励寻找多种解决问题的方法，例如，通过级数变换或重组来简化问题或获得新的洞察。

第十二章: 无穷级数笔记简介:

无穷级数是数学中研究无穷多项相加的概念，用于近似计算和表达复杂函数。本节重点理解常数项无穷级数的基本概念和性质。

常数项无穷级数:

定义:

常数项级数：形式上写作 ∑n=1∞un，其中 un 是级数的一般项。形式定义：虽然定义只是形式上的，它为我们理解无穷多项相加提供了基础。

理解无穷多项相加:

从有限项和出发：观察部分和的变化趋势，从而理解无穷多项相加的含义。圆面积例子：通过逐步增加内接多边形的边数来近似圆面积，类似地，级数通过逐项累加来逼近总和。

部分和序列:

部分和 Sn：前n项的和 Sn=u1+u2+…+un。部分和数列：{1,2,3,…}{S1,S2,S3,…}，随n的增大逐渐构建整个级数的近似值。收敛与发散:

收敛的定义:

如果部分和数列 {Sn} 有极限 S，即 limn→∞Sn=S，则称级数收敛，S 为级数的和。

发散的概念:

如果 {Sn} 没有极限，则称级数发散。

余项与误差:

余项 Rn：级数的和与其部分和之间的差 Rn=S−Sn。误差估计：用 Sn 代替 S 所产生的误差为余项的绝对值，即 ∣Rn∣。关键点: 紧密联系：级数与数列极限之间有着密切关系。理解这一点对掌握无穷级数至关重要。实际应用：无穷级数在实际问题中的应用广泛，如物理、工程和经济学中的模型和计算。学习策略: 逐步构建理解：从理解部分和与级数的关系开始，逐步深入到收敛性和应用。练习与应用：通过具体例子和问题练习，加深对无穷级数概念和性质的理解。联系数列极限：通过比较和联系数列极限和无穷级数，深化对无穷过程的理解数学思想: 无限过程的实质：理解无穷级数涉及了无限过程的核心概念，即通过逐步增加项数来逼近某个值。这是对无限概念的一种直观感知。近似与极限：学习无穷级数使我们认识到很多数学问题无法直接求得精确解，但可以通过逼近方法无限接近真实值。这种近似思想在数学和科学的其他领域中极为重要。整体与局部的关系：通过研究局部（单项）与整体（级数和）的关系，理解如何从部分构建出整体的观念。数学方法: 部分和的概念与计算：学会计算和理解部分和序列的概念，这是研究无穷级数的基础。收敛性的判断：掌握如何判断一个无穷级数是否收敛，包括理解收敛的定义和学习不同的判断收敛性的测试方法。余项与误差估计：了解如何计算级数的余项，并利用它来估计使用部分和代替整个级数时的误差。数学思维: 抽象思维：无穷级数的概念要求我们把具体的数和操作抽象成一般的形式，培养抽象思维能力。逻辑推理：在探讨收敛性和计算部分和时，需要运用逻辑推理，从已知信息推导出未知结果。问题解决能力：通过理解和应用无穷级数的概念，可以解决先前难以解决的问题，例如复杂函数的表达和近似计算，从而提高解决问题的能力和创新思维。

第一节: 常数项级数的概念和性质笔记常数项级数基本概念:

定义:

常数项无穷级数：形式上表示为 ∑n=1∞un，其中 un 是级数的一般项。

理解无穷和:

无穷级数的和是通过逐步添加项来近似的，理解这一点是关键。

部分和 ��Sn:

Sn=u1+u2+…+un，代表前n项的和，是理解整个级数行为的基础。收敛与发散:

收敛性:

如果部分和数列{Sn} 的极限存在，即 limn→∞Sn=S，则级数收敛，和为 S。

发散性:

如果 {Sn} 的极限不存在或无穷大，则级数发散。

余项:

Rn=S−Sn，表示用部分和近似级数和时的误差。等比级数（特例分析）:

定义:

2+…a+aq+aq2+…，其中 a≠0 且 q 是公比。

收敛条件:

当 ∣q∣

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