信号与系统公式笔记（6）

主要关于第三章，这章非常重要。 重点内容

信号的带宽 1. X ( ω ) X(\omega) X(ω)（频谱）下降到最大值的 1 2 \frac{1}{\sqrt{2}} 2 ​1​时对应的频率范围，此时带内信号分量占有信号总能量的 1 2 \frac{1}{2} 21​ 2.对包络式 S a ( x ) \mathrm{Sa}(x) Sa(x)形状的频谱，通常定义主瓣宽度（即频谱第一个零点内的范围）为信号带宽

脉宽乘以带宽等于常数 C C C（脉宽带宽积）（频域和时域的相反关系）。

连续时间傅里叶变换的性质（有时用定义直接积分求不了或者很难求结果，所以只能够用这些性质来简化方程式） 1.线性 若 x ( t ) ↔ X ( j ω ) , y ( t ) ↔ Y ( j ω ) 则 a x ( t ) + b y ( t ) ↔ a X ( j ω ) + b Y ( j ω ) \mathrm{若}x(t) \leftrightarrow X(\mathrm{j\omega}), y(t) \leftrightarrow Y(\mathrm{j}\omega)\\ \mathrm{则}ax(t) + by(t) \leftrightarrow aX(\mathrm{j}\omega) + bY(\mathrm{j}\omega) 若x(t)↔X(jω),y(t)↔Y(jω)则ax(t)+by(t)↔aX(jω)+bY(jω)同时也体现了齐次性和可加性

2.时移与频移（必须要记得，很重要） 若 x ( t ) ↔ X ( j ω ) x(t) \leftrightarrow X(\mathrm{j}\omega) x(t)↔X(jω)则 x ( t − t 0 ) ↔ X ( j ω ) e − j ω t 0 x(t - t_0) \leftrightarrow X(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_0} x(t−t0​)↔X(jω)e−jωt0​ 信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。 而频移： F [ x ( t ) e − / + j ω t ] = X ( ω + / − ω 0 ) F[x(t)\mathrm{e}^{-/+\mathrm{j}\omega t}] = X(\omega+/-\omega_0) F[x(t)e−/+jωt]=X(ω+/−ω0​)（时间上进行变化，会出现频域上的平移）

3.共轭对称性（用起来比较复杂） 若 x ( t ) ↔ X ( j ω ) x(t)\leftrightarrow X(\mathrm{j}\omega) x(t)↔X(jω) 则 x ∗ ( t ) ↔ X ∗ ( − j ω ) x^*(t)\leftrightarrow X^*(-\mathrm{j}\omega) x∗(t)↔X∗(−jω) （证明不麻烦，记住就行了）

然后因为 X ( − j ω ) = X ∗ ( j ω ) X(-\mathrm{j}\omega) = X^*(\mathrm{j}\omega) X(−jω)=X∗(jω)所以 X ( j ω ) = X ∗ ( j ω ) X(\mathrm{j}\omega) = X^*(\mathrm{j}\omega) X(jω)=X∗(jω)，所以 X ( j ω ) X(\mathrm{j}\omega) X(jω)是实函数。 所以上面ppt里面的表明是指：“实偶信号的傅里叶变换是实偶函数”（因为是实的所以能够满足了上上面那里的共轭关系）。

如果 x ( t ) x(t) x