Hilbert变换及相关特征值

希尔伯特变换如下式所示： 可以看出，f(t)的Hilbert变换即f(t)与1/πt的卷积，这个卷积的冲击响应为1/πt。 利用卷积的特殊性质，即两个函数卷积后的傅里叶变换等于两个函数傅里叶变换后的乘积，设f(t)为原信号，F(f(t))表示对信号进行傅里叶变换，H[f(t)]为对信号进行希尔伯特变换，那么： 这个公式中F(f(t))以前的部分为1/πt的傅里叶变换，对其进行处理并简化得： 上式中的对sin(t)/t的积分用到了以下方法： 令α=0即可得到上述积分为π/2。

其中sgn(f)为符号函数，符号函数具有以下性质： 可以看出，希尔伯特变换的作用上是一个90°移相器，它将信号中的正频率部分相移-90°，相当于顺时针转90°；将信号中的负频率部分相移90°，相当于逆时针转90°。希尔伯特变换不会改变实信号x(t)的振幅和能量，仅仅在相位上发生了改变分而已。 再举个简单的例子，欧拉公式就是一个简单的希尔伯特变换的例子。其中cos(x)相移90 之后变成sin(x)。 由Hilbert变换的定义容易知道，当实信号连续作两次Hilbert变换之后，信号反相。

特征值的定义： 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值或本征值。 信号特征值可以用来代替一段信号对系统产生的影响，或者说取代一段信号并填补它功能的空缺。按照这个思想，在外界或内部改变信号的某些条件之后，可以用特征值随外界或内部因素的变化来反映干扰因素对信号的影响，或者反映信号本身对外界干扰的抵抗力及自身的稳定性、鲁棒性等性质。 给出一个初始信号s(t)，我们首先把它做一次希尔伯特变换，然后提取特征值。 利用信号包络上不同的高阶统计量，可分别计算R值特征和J值特征。 信号包络R值特征：R值是信号包络的方差与包络均值的平方的比值： 信号包络J值特征：J值是信号包洛的四阶矩和二阶矩平方之间的差值与包络均值的平方的比值： 此外还有双谱特征：利用积分的方法将二维双谱积分函数转换为一维双谱积分函数，从而求得双谱特征：

参考文献： 1、傅里叶变换与希尔伯特变换 2、信号处理——Hilbert变换及谱分析 3、Hilbert变换提取信号特征的Python实现