现代分析的基石

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潜入数学的深渊，你会发现一片无垠的领域，犹如一座无边无际的森林，其中的每一棵树，每一片叶子，都饱含了生机与奥秘。在这座森林中，有一片神秘的区域被我们称为"函数空间"。

什么是函数空间？

当我们处理实数或复数时，一个数x有一个自然的大小概念，即它的模|x|。我们也可以利用这一个大小的概念来定义两个数x和y的距离

由此可以说，哪些成对的数是互相接近的，哪些是远离的。

然而，当处理具有较多自由度的对象时，情况就变得比较复杂。举例来说，考虑决定一个3维矩形箱子的“大小”，这里有好几个量可供选用：长、宽、高、体积、表面积、直径（最长的对角线长度）、扁平率等等。不幸的是，用这些量作出的大小比较并不是等价的。例如，箱子A可能比箱子B长一些，而且体积也比较大，但是箱子B可能宽一些，而且表面积大一些。由于这个原因，人们放弃了箱子应该只用一个量来表示其大小的想法，而接受了另一个思想：有许多这样的大小概念，它们都可能是有用的，在有些应用里，把大体积的箱子和小体积的箱子分开来；在有些应用里，可能想把扁平的箱子和圆一点的箱子分开来。当然，不同的大小概念有一些关系（例如等周不等式）。它们在已知表面积时，对体积的可能值给出了一个上界，所以，情况并不像初看起来那样漫无头绪。

现在回到具有固定的定义域和值域的函数，

（最好心里记住一个定义在区间[-1，1]上而值在实直线R中的函数f：[-1，1]→R，这是一个好的例子）。

这些对象有无穷多自由度，所以毫不奇怪，这里也有无穷多不同的“大小”概念，而它们都对于“一个已给的函数有多大"这个问题（或者对一个密切相关的问题：“两个函数f和g有多么接近?"）提供了不同的答案。有时候，一些函数在某种度量下有无穷的大小，而在另一种度量下则只有有限大小（类似地，一对函数可能在某种度量下非常接近，而在另一种度量下距离很远）。这里的情况又可能看起来很混乱，但是它仅是反映了一个事实，即函数可能有许多不同的特性——有的高，有的胖，有的光滑，有的震荡，等等，而按照不同的应用，可能更着重于一种特性，而不是另一种。在分析里，这些特性都体现在种种标准的函数空间及其相关的范数上，而这些范数，既可定量也可定性地描述这些函数。

形式地看，一个函数空间常是一个赋范空间X，其元素是一些函数（具有固定的定义域和值域）。在分析中考虑的标准的函数空间绝大多数（但肯定不是全部）不仅是赋范空间，还是巴拿赫空间。X中的函数f的范数：

就是这个函数空间量度这个函数f有多大的方法。

通常（但非一定如此）范数是由简单的公式给出的，而空间X就是由那些使得

有意义并且为有限的函数构成的。这样，仅就函数f属于函数空间X这一事实，就已经传递了关于这个函数的定量的信息了，例如，它可能包含了f正规到何种程度，它衰减多么快，它以什么常数为界，或者它的积分有多大，等等。

函数空间的例子

现在给出一些常用的函数空间的样本。为简单起见，仅限于考虑由[-1，1]到R的函数的空间。

这个空间由所有由[-1，1]到R的连续函数构成，通常记作C[-1，1]。连续函数已经足够正规，足以避免那些很粗糙的函数所产生的许多技术上微妙的地方。紧区间（如[-1，1]）上的连续函数是有界的，所以可以加于这个空间的最自然的范数是上确界范数，即|f|的最大值，记作

形式上说，它的定义是

但是对于连续函数，说最大值或者说上确界，是一致的。

上确界范数是与一致收敛性相联系的范数：一个序列f1，f2，…一致收敛于f，当且仅当

空间C⁰[-1，1]有一个有用的性质，即其中的元素不但可以相加，而且可以相乘，这就使C⁰[-1，1]成为巴拿赫代数的最基本的例子。

另一个函数空间的例子是：

这是一个对成员的资格限制比C⁰[-1，1]更严的空间：C¹[-1，1]中的函数f不仅是连续的，而且它的导数在[-1，1]上也是连续的。上确界范数现在不是一个自然的范数，因为一个连续可微函数序列可以在C⁰[-1，1]范数下收敛于一个不可微的函数。现在应该定义

注意C¹范数现在不仅量度函数本身的大小，还量度了其导数的大小（但是仅仅管住导数也不能令人满意，因为那会给常值函数以零范数）。因此这是一个保证了比上确界范数更高的正规性的范数。可以类似地定义二次连续可微的函数的空间

等等，一直到无穷可微函数的空间

但是最后这个空间并不是赋范空间（这些空间还有“分数阶”的版本，例如

即满足α阶赫尔德（Otto Ludwig Holder，德国数学家）条件的函数的空间。

第三个函数空间的例子：勒贝格空间

上面给出的上确界范数

对于所有的x∈[-1，1]管住了|f（x）|的大小。然而，这意味着如果有x的一个很小的集合，使得|f（x）|在其上很大，则

哪怕对于典型的x，|f（x）|会小得很多。有时，取一个不那么受函数在小的集合上的值影响的范数会更加有利。函数f的LP范数是

当1≤p