双重差分法(DID)的原理及Python实现

假设我想了解国家实施了一个政策（比如某个防疫政策）对经济的影响，我该如何检验这种影响？

一个自然的想法是：比较实施了这种政策的地区（实验组）和没有实施地区（对照组）的差异。但很多时候，对照组和实验组本身就有差异，所以对比出的结果并不可靠。我们还要比较政策实施点前后实验组和对照组的差异。

这种想法在统计上的实现可以是双重差分法（Difference-in-Difference ,DiD).

双重差分法是一种在经济学、社会科学和公共卫生等领域中广泛使用的统计方法，用于估计一种政策、干预或事件对一个或多个群体的影响。这种方法的基本思想是比较同一时间内不同群体之间的差异，并比较这些群体在政策、干预或事件之前和之后的变化。

具体来说，DiD方法的核心是使用两个时间点的差异进行分析。其中一个时间点是政策、干预或事件之前的时间，另一个时间点是政策、干预或事件之后的时间。同时，研究者需要选择一个实验组和一个对照组。实验组是受政策、干预或事件影响的群体，而对照组则是没有受到影响的群体。

在DiD方法中，研究者首先比较两个时间点的实验组和对照组之间的差异。然后，研究者比较政策、干预或事件之前和之后实验组和对照组的差异。通过这种比较，研究者可以得出政策、干预或事件对实验组与对照组之间差异的影响大小。

DiD方法的优点在于它可以解决许多潜在的混淆因素，并且可以在不进行随机分组试验的情况下估计政策、干预或事件的效应。然而，DiD方法也有一些限制，包括对实验组和对照组的选择敏感以及对时间趋势的假设。

假设我们想了解某个城市实施“限行令”对汽车交通拥堵的影响。限行令是指在特定时间段内限制特定车牌号码的汽车上路，以减少道路交通拥堵。

我们可以将政策实施前后的交通流量和车速作为主要的衡量指标。在这种情况下，我们需要选择一个实验组和一个对照组。实验组可以是政策实施范围内的区域，而对照组可以是政策实施范围之外的区域。

我们需要选择两个时间段，一个是政策实施前，另一个是政策实施后。例如，政策实施前是 2020 年，政策实施后是 2021 年。

接下来，我们比较政策实施前后，实验组和对照组中的交通流量和车速。如果限行令可以显著降低实验组中的交通流量，同时提高实验组中的车速，而对照组中的交通流量和车速没有变化或变化不显著，那么我们可以得出结论：限行令对减少交通拥堵产生了积极的影响。

双重差分法的数学模型可以表示为以下方程：

Y_it = β0 + β1 * D_it + β2 * P_t + β3 * D_it * P_t + ε_it \\

其中，Y_{it} 表示观测对象 i 在时间 t 的观测结果；D_{it} 是二进制自变量（0-1变量），表示观测单位 i 在时间 t 是否接受了政策、干预或事件；P_t 是二进制自变量，表示观测时间是否在政策、干预或事件发生后；β0 是常数项；β1 表示政策、干预或事件的效应，即 DiD 估计量；β2 表示时间的效应，即 P_t 的系数；β3 表示 DiD 估计量与时间的交互作用，即 D_it * P_t 的系数；ε_it 表示误差项。

DiD 方法的基本思想是，通过比较实验组和对照组在政策实施前后的差异，来估计政策对实验组的影响。DiD 估计量 β1 的计算公式为：

β1 = (Y_{1t} - Y_{0t}) - (Y_{1t-1} - Y_{0t-1}) \\

其中，Y_{1t} 和 Y_{0t} 分别表示实验组和对照组在政策实施后的观测结果，而 Y_{1t-1} 和 Y_{0t-1} 分别表示实验组和对照组在政策实施前的观测结果。通过计算 DiD 估计量 β1，我们可以评估政策对实验组的影响。

现在有这样一份数据，A市放置了 3 个广告牌。我们想看看这是否会增加A市居民的存款。作为对照，我们也选取了B市居民的数据。放置广告牌的时间是7月.

这是前5条数据：

接下来我们比较放置广告牌前后，A市居民存款量的变化

值为41.04775。但这个值是不是由于广告牌的影响的，说不定就是因为收入随时间一直在增加导致的，和广告牌没啥关系。我们需要找到对照组。

值为 -119.10175000000001。这个值表示的是7月以后A市与B市的平均存款之差,A市低于B市。当然，这可能是因为B市本来存款就多，比A市要富裕。我们还需要综合时间因素和对照组因素。

结果为：6.524557692307688。 确实是涨了。

画个图像来看看：

点画线（黄线）是通过B市的变化推出的假设A市没有放置广告牌的变化曲线，是“反事实”（counter factual）的结果。

我们再来将数据放到模型中，来看一下系数和标准误：

Y_i = \beta_0 + \beta_1 A_i + \beta_2 Jul_i + \beta_3 A_i*Jul_i + e_i

从结果上来看，A,july 的系数都是显著的，交叉项不显著。请注意，\beta_0 是控制组的基线。在我们的例子中，是 7月份之前B市的存款水平。如果我们将干预过的城市对应的虚拟变量设为1，我们会得到 \beta_1。所以 \beta_0 + \beta_1是A市7月份之前前的基线，而 \beta_1 是A市基线在B之上的增量。如果我们关闭 A虚拟变量并打开 7 月之后虚拟变量，我们会得到 \beta_0 + \beta_2，即干预期后 B市 在 7 月之后的水平。 \beta_2 是控制组的趋势，是我们将它添加到基线之上以获得干预后时期的控制水平。\beta_1 是我们从处理到控制得到的增量，\beta_2 是我们从之前的时期到之后的时期得到的增量干涉。最后，如果我们打开两个虚拟变量，我们会得到 \beta_3。 \beta_0 + \beta_1 + \beta_2 + \beta_3 是干预后A的水平。所以 \beta_3 是从 7月之前到 7 月之后以及从B到 A 的增量影响。换句话说，它是差异估计量的差.

参考资料