CFA一级重难点：分布的偏度和峰度

对于对称分布而言，其平均值、中位数和众数都相同。

对于左偏分布而言，平均值 < 中位数 < 众数。

对于右偏分布而言，平均值 > 中位数 > 众数。

从平均值、中位数和众数的大小比较重可以看出：(1)中位数永远都在中间。

(2)左偏分布的平均值在左边，右偏分布的平均值在右边(与离群值的位置有关，与因为离群值会导致平均值变小或变大);(3)与平均数相比，众数正好反过来，左偏的众数在右边，右偏的众数在左边。这三点常常是CFA考试的出题点，请小伙伴们一定不要记混淆了。

二、怎么计算偏度(Skewness)?

前文都是对偏度进行定性分析，那么偏度应该怎么来衡量呢?先上公式。

在总体的均值μ和标准差σ难以获得时，可以用样本的均值`X和标准差s替代。

从偏度的计算公式中可以看出，偏度的分母永远是正数(偶数次方)，偏度的正负取决于分子。如果分子为正数，即为正偏;如果分子为负数，即为负偏。

一般来说，偏度的绝对值超过0.5，意味着偏度非常大。在风险管理当中，较大程度的负偏是需要格外关注的问题，因为这可能导致大的损失的发生。

三、什么是峰度(Kurtosis)?

峰度(Kurtosis)是衡量某个分布相比正态分布而言，其峰值高低的程度。其中，尖峰态(Leptokurtic)就是比正态分布更尖的一种分布，低峰态(Platykurtic)是指没有正态分布那么尖的一种分布，常峰态(Mesokurtic)就是峰值和正态分布相同的分布。图示如下：

常峰态（Mesokurtic）就是峰值和正态分布相同的分布

尖峰分布如果仅仅是尖峰就简单了，但是实际上，尖峰分布通常都会伴随着肥尾一同出现，即“尖峰肥尾”，或“尖峰厚尾”。从下图中可以看出，尖峰分布的峰(即平均值)和尾(即正负两端)都比正态分布的概率高，而在其他地方都比正态分布的概率低。

尖峰分布的情况下，相比正态分布，有更多的收益率靠近均值，同时也有更多的收益率远离均值。在远离均值的情况下，就有可能出现极端的情况，导致产生非常大的收益或者非常大的损失，这在风险控制当中是要尤为注意的问题。

低峰态的情况和上图正好相反，是低峰瘦尾。小伙伴们可以画图看看。

小伙伴们应该也见过t分布吧?t分布和前面的尖峰态和低峰态的分布特别容易混淆。t分布是低峰肥尾，和尖峰态的尖峰肥尾、低峰态的低峰瘦尾都不相同。如下图所示，红色的概率密度函数是正态分布，其他颜色是不同自由度的t分布。很明显，t分布是低峰肥尾的特征。有时候考试也容易考到这一点。

很明显，t分布是低峰肥尾的特征。

四、怎么计算峰度(Kurtosis)?

峰度也有相应的计算公式，如下：

与偏度的计算公式相同，在总体的均值μ和标准差σ难以获得时，可以用样本的均值`X和标准差s替代。峰度和偏度的计算公式非常相似，只是从3次方变成了4次方。

对于峰度而言，尖峰态的峰度大于3，低峰态的峰度小于3，而正态分布的峰度正好等于3。有的峰度的计算公式当中，直接在计算公式中减去了3。那么就变成了尖峰态的峰度大于0，低峰态的峰度小于0，而正态分布的峰度等于0。

五、总结

对于峰度和偏度的理解，是CFA一二三级考试当中常常出现的考点，特别是左偏右偏的判断，以及尖峰肥尾的判断。如果明白了的话，就可以很快做出来;如果没有理解到，那么就要费时间了。CFA一二级考试都是客观选择题，CFA三级的下午部分也是客观选择题，平均到每道题的时间都很短，但是绝对不是每道题都花相等的时间完成的。如果能够在这些基本概念上迅速完成选择，那么就可以为其他稍难的或者计算量稍大的题目腾出更多时间，让CFA考试过程更加从容。返回搜狐，查看更多