【高中物理进阶】如何更精确地计算重力加速度

重力加速度在高中人尽皆知，其实大家早在初中就开始接触这个玩意了。

(注意:加粗代表矢量，不加粗代表标量或矢量的大小)

重力公式G=mg

式中G为问题受到的重力，m为物体质量，g在初中认为是重力和质量的比值，常取9.8N/kg或10N/kg。在不同纬度g的大小不同，但是差异不大。

在高中做自由落体运动的物体的加速度称为自由落体加速度，也叫重力加速度。常取9.8m/s²或10m/s²。在不同纬度g的大小不同，但是差异不大。细心的同学在学自由落体运动时就马上发现，这不就是G=mg的g吗？然后到学相互作用时发现好像真是那么回事，等学牛顿第二定律时就发现真是这么回事。

等到必修二学万有引力时，就会教你推导g。【本问题讨论的前提是，物体在地球表面海拔为0的位置】

在忽略地球自转的情况下，认为地球表面的物体受到的万有引力等于重力。

GMm/R²=mg

g=GM/R²①

式中G为万有引力常量，M为地球质量，R为地球半径。常把R²乘过去，变成

GM=gR²

称为黄金代换(看不出黄金在哪里)

然而地球是会自转的，会自转就会有离心惯性力重力是万有引力和离心惯性力的合力。或者说万有引力要分出一个分力来提供物体跟随地球自转所需的向心力。两种表述都没问题。

在两极离地轴距离为零，这时候由于an=mω²r=0，所以离心惯性力就没有了，万有引力等于重力。这时候就有g=GM/R²了。

在赤道万有引力一部分提供向心力，一部分成为重力，有

g=GM/R²-4π²R/T²②

现在我们想算任意纬度的重力加速度。所谓纬度，就是地球表面上的某点与地心的连线和赤道所在平面的夹角，这个夹角就是该点的纬度。

设某点纬度为θ，地球自转周期为T，半径为R，则受力分析如图

由余弦定理

讨论:当θ=0时(在赤道)，cosθ=1，由完全平方公式可知，g=GM/R²-4π²R/T²，与②式相同。

当θ=90°时，cosθ=0，g=GM/R²，与①式相同。

我们验证一下是否正确。取G=6.67259E-11N·m²/kg²，M=5.965E24kg，R=6371000m，令θ=45°，带入③式(看图片)得

g=9.78912m/s²

事实上θ=45°时所得的重力加速度的值是标准值。而g的标准值为9.80665 m/s²，计算与实际差了近0.02m/s²。

而两极和赤道分别算得

g极=9.80595m/s²

g赤=9.77226m/s²

实际结果为g极=9.832m/s²，g赤=9.78030m/s²

误差哪里来？我们回忆一下高中地理必修一地球形状。

地球并不是一个正球体，而是一个两极稍扁、赤道略鼓的不规则球体，地球的平均半径6371千米 ，最大周长约4万千米

地球的平均赤道半径为6378.38公里，极半径为6356.89公里。测量还发现，北极地区约高出18.9米，南极地区则低下24～30米。

我们把地球的一个过地轴的截面看成椭圆。则它的半长轴a=63783800m，半短轴b=63568900m，椭圆的参数方程可以写为

其中

把③式改写一下

带入θ=45°和其他数据，算得g=9.80032m/s²。误差仅0.005m/s²，比刚才小多了。

我们再算一下北极和赤道的重力加速度。注意到北极地区约高出18.9米，南极地区则低下24～30米。所以计算北极的重力加速度时要加上18.9m。结果g北极=9.84947m/s²，g赤道=9.78505m/s²。对比实际g极=9.832m/s²，g赤=9.78030m/s²

误差是小一些了，但是结果还是都偏大。我想原因应该是地球的质量分布不均匀，导致质心与地球几何中心不重合。也有可能是数据的地球质量偏大了。也有可能是地球的自转周期不严格等于24h导致的误差。

总结:物理理论就是这样发展的，一步步逼近实际情况。在误差允许范围，物理模型可以很简化。但是要更接近真实情况，一些简单的理论可能就不适用了。