Matlab时频分析之连续小波变换CWT

和傅里叶变换比，小波变换和短时傅里叶变换都有着相同的优点，就是可以同时在时域和频域观察信号。所以小波变换在非定常信号的分析中有很大的作用。

和短时傅里叶变换相比，小波变换有着窗口自适应的特点，即高频信号分辨率高（但是频率分辨率差），低频信号频率分辨率高（但是时间分辨率差），而在工程中常常比较关心低频的频率和高频出现的时间，所以近些年用途比较广泛。

在数学上，小波还有正交化等优点，应用领域广泛。 本文只讨论如何利用matlab实现cwt的时频分析

小波的含义，即为时间上衰减快，和傅里叶的正弦波相比要短。 一个典型的morlet小波如下图： matlab有很多自带的小波函数，利用wavemngr(‘read’,1)可以进行小波的查看，利用waveinfo可以查看小波的相关信息。

在时域上，可以通过小波在时间上的移动，逐一比较不同位置的窗口信号，得到小波系数。小波系数越大，则小波与该段信号的拟合程度越好。计算时用小波函数与该窗口的信号卷积，作为该窗口下的小波系数。窗口的长度和小波的长度是相同的。 在频率域上，通过拉伸或压缩小波的长度，来改变小波的长短和频率，实现不同频率下的小波系数。相应的，窗口长度也会随着小波长度变化。由于高频处小波被压缩，时间窗变窄，使得时间分辨率更高。

将不同频率下的小波系数组合起来，便得到了时频变换的小波系数图。 从图上可以看到，低频处频率分辨率要好于高频处的。小波时频图的特点为整体呈现高频处高而瘦，低频处矮而宽。

小波中，一般用尺度scale来衡量小波的频率f， 两者之间的转换关系为：

公式中，Fs代表信号采样率，wcf为小波的中心频率（wave central freq），在matlab里可以用 centfrq(wavename) 来查询。

matlab自带的有两种实现方式，一种是2006年版本推出的函数cwt，一种是2016年版本推出的函数cwt。两个函数名称相同，用法不同。

由于名称一样，在使用中，要想调用不同的版本，只能用输入输出格式来区分。

旧版本cwt用法为：

新版本cwt用法为：

最明显的区别在于，新版本取消了自定义尺度函数scales的功能。同时新版本还更新替换了一部分小波函数。旧版本支持 ‘haar’， ‘db’， ‘sym’， ‘cmor’，‘mexh’，‘gaus’，‘bior’等小波，新版本支持’morse’， 'amor’和 'bump’小波。 新版小波的介绍可以参见： https://ww2.mathworks.cn/help/wavelet/gs/choose-a-wavelet.html

新版本的小波函数用法如下：

旧版本的小波函数用法如下： 这里用到了cmor小波，以及频率转尺度的方法。

对于cmor小波Fc和Fb的选取，可以认为最终结果只与Fc*√Fb的乘积大小有关就行。实际应用中具体值需要根据最终效果选择。

cmor小波最终得到的coefs小波系数，是一个复数矩阵，绝对值abs()代表信号的幅值，角度angle()代表信号的相位。一般用小波系数的实部real()来同时表示信号正负变化。

其实cwt的原理很简单，就是用不同尺度的小波逐个窗口去卷积，得到小波系数矩阵。所以根据原理，可以自己编程实现小波变换。

自己编程的cwt函数如下，这里主要算法参考了matlab官方的文档。这里依然用的是cmor小波作为例子，morlet函数公式可以查询到，也可以用cmorwavf()函数调用：

输出的结果如下，可以看到和matlab自带的函数得到的结果基本相同。