一课研究之《探索图形

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读一读： 坚持阅读8分钟

《探索图形——正方体的表面涂色问题》

指导思想与理论依据

《2022年版数学课程标准》指出：“数学课程内容是实现课程目标的重要载体。”会用数学的语言表达现实世界，在义务教育阶段，数学语言主要表现为：数据意识或数据观念、模型意识或模型概念、应用意识。通过经历用数学语言表达正方体的表面涂色简单数量关系与空间形式的过程，初步感悟数学与现实世界的交流方式。在综合与实践领域，学生要积累活动经验，感悟思想方法，形成和发展模型意识、创新意识，提高解决实际问题的能力，形成和发展核心素养。

教材与学情分析

单元知识结构

本课时是在五下第三单元教学《长方体和正方体的认识》后安排的一节综合实践课，前后知识连接逻辑关系不大，仅教学正方体的特征之后就可以教学本节课。在前测中,学生自主探索由小正方体拼成的大正方体中各种涂色小正方体的数量,发现其中蕴含的数量的规律,十分困难,特别是发现一面涂色和没有涂色的块数中的规律,对学生来说,太抽象了，很多学生在求没有涂色数量都是用总的数量-三面涂色的数量-两面涂色的数量-一面涂色的数量。为此，本课的设计围绕“借助直观、经历过程、启迪思维”的模式展开，充分尊重学生的现实，利用大量具体直观的材料，对若干个完全一样的小正方体拼组成大正方体涂色面个数的探究，力求人人参与，引导学生经历发现规律——验证规律——总结归纳——应用规律的过程。整节课，从旧知到新知，从简单到复杂，从直观到抽象，从个别到一般，层层推进，让学生在各种体验活动中，去经历知识的生成过程、发展过程,体会知识的来龙去脉，发展学生的空间想象能力和推理能力，体会分类计数思想。教学时,要充分调动学生的各种学生感观参与学习的全过程，经历动眼观察、动手操作、动脑思考、动口表达的过程，在探究、分类、思考和交流中发现正方体涂色的变化规律，提高观察、比较和归纳概括的能力。

教学目标

1.进一步理解和巩固正方体的特征。

2.学生通过操作、观察、列表、想象等方式探究、发现图形分类计数问题中的规律,体会化繁为简解决问题的策略,感悟分类、数形结合、归纳、推理、模型等数学思想,积累数学思维的活动经验。

3.在反馈交流中，学会表达，学会倾听，会感受数学思考的魅力。

教学准备

每小组小正方体棱长为2，棱长为3（可拆拼）各一个，任务单每人一张。

教学重难点

教学重点:学会从简单情况找规律,解决复杂问题的化繁为简的思想方法。

教学难点:探索规律的归纳方法。

教学过程

一、唤醒经验 生成问题

01

复习引入：

(1)正方体有什么特征呢?

生：8个顶点，12条棱，6个面（板贴）

（2）师：如果我们把这样的正方体的棱长看作1个单位，想一想，我现在用小正方体拼一个稍大一些的正方体,至少需要多少块?怎么摆?

生：棱长为2的正方体（课件出示）

师：如果再大一点呢，棱长为9个正方体,你还会摆吗？要怎么摆呢?

生：长9，宽9，高9。(课件分别演示:每行块数,每层行数,层数)

02

引导分类:

师：把这个大正方体的6个面都涂上颜色,想象一下：每个小正方体的表面涂色情况会有哪些呢?

生：会有3个面，2个面，1个面，还有没有涂色的。

师：你们想的都和他一样吗？

我们一起来看一看。（课件出示）

师：我们可以把这么多的小正方体根据它涂色的情况进行分类吗？分成几种情况？

生：分成4类：3面涂色，2面涂色，1面涂色，还有没有涂色的。（板贴）

03

提出问题:

大正方体中每种涂色的小正方体的数量会是多少呢?

师：谁能快速说出每一类小正方体涂色的数量呢？

生：不能，能（能的孩子也是犹豫了很长一段时间在那里计算）

师：为什么，遇到什么困难呢？

生：太多了，计算没有那么方便。

师：有没有什么办法？

师生：我们可以从简单一点的入手。（板贴：化繁为简 ）

04

揭示课题:

师：我们要把每一个小正方体的数量记录下来的话，我们可以用表格的形式进行记录。

那么这一节课，我们就利用这种化繁为简的方法来研究正方体的涂色问题。（揭示课题，板贴）

二、自主实践 探索规律

活动一：在观察中初步感知

1. 观察：棱长为2的正方体表面刷上了红色,每个小正方体的涂色情况会是怎样的呢?

师：简单一点的正方体，棱长为2的正方体，同样表面涂上颜色。仔细观察这里面每一个小正方体，它有几个面涂上颜色呢？

生：3面涂上颜色的。

师：其他情况呢？来验证一下。

师：3面涂色，里面为什么是白的？生：因为它是表面涂上颜色。

2. 发现:三面涂色有8个,其他都是0个。

师：通过大家的观察，棱长为2的正方体当中，三面涂色的小正方体有8个。

那其他情况呢？（没有）（板书：棱长2 ，8，0,0,0）

3.质疑:8个三面涂色的小正方体分别在大正方体的什么位置上?

4.共识:8个三面涂色的小正方体分别在大正方体的顶点上。

活动二:在操作中积累经验

师：那棱长为3的正方体，每个小正方体的涂色情况又会是怎么样的？同学们自己来探个究竟。在探究前，老师有个温馨提示，请同学读一读。

1.出示要求:

(1)看一看:一共由几个小正方体组成？

(2)数一数:每一类涂色小正方体各有多少个?

(3)拆一拆，玩一玩，拼一拼，你有什么发现？

2.小组活动。

小组合作完成任务单。

3. 汇报交流。

①所有涂色数量相加正好是小正方体的数量。

②在拼的过程中，先根据涂色情况进行分类，发现涂色情况与正方体的顶点、棱、面有关系。

4. 数形结合:课件动态展示各种涂色情况具体位置。

活动三:在想象中推理

1.再出示棱长为4的正方体，让学生快速写下。说一说棱长为4的涂色情况是怎么找到的？

2.对比棱长2、棱长3、棱长4的正方体。

学生发现：3面涂色的小正方体在大正方体的顶点上，2面涂色的小正方体在大正方体的除顶点外的棱上，1面涂色的小正方体在大正方体的除棱长外的面上，没有涂色的小正方体在大正方体的中间上。

师：涂色情况与正方体的顶点、棱、面有什么样的关系，请在数字旁边列出算式。（依次完善算式）

4.观察表格，发现规律:认真观察,从表中你发现了什么?

5.验证猜想

(1)引导推理:按这样规律猜想棱长为5的每类小正方体的涂色块数。

(2)验证猜想:课件演示学生的猜想。

6.总结规律

表格里的这些数存在规律，请把你的发现和同桌讨论，一起交流总结。

对比算法：求最后一个剩下的涂色问题也可以用减法计算，但是没有乘法有规律。

三、应用规律 解决问题

1.迁移类推:棱长为9的正方体,每类小正方体的个数又是多少呢?

2.概括提升:如果棱长为20,100……每类小正方体个数你还会写得出来吗?

棱长为n的正方体：

3面涂色8个，

2面涂色：(n-2)×12 个，

1面涂色：（n－2）²×6个，

没有涂色：（n－2）³个。

3.拓展练习

如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型。把这个模型的表面(包括底面)都凃成红色，那么把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多几块？

解题思路：先求出三面涂色块数，再求出两面涂色块数，最后求他们的差。

先让学生分析得到：三面涂色分别在底层的除顶点外的棱上，还有第三层的四个顶点上，两面涂色是在第三层和第二层的除顶点外的棱上，再让学生快速算出。（12）

四、反思延伸 意味未尽

回顾一下学习过程，我们是怎样得到这些的规律?你还有什么新的问题?

我们还可以研究长方体表面涂色问题。

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看一看：找出五角星

答案：在右下角

你若盛开 蝴蝶自来

审核人：吴春敏 周晓辉

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