【求索】探究

2

很长一段时间里，为了表示一般的、抽象的和涉及未知数的数量关系，人们只能用语言文字进行描述。

例如，用 “两个数相加时，交换它们的前后顺序，所得结果不变”表示加法交换律，用 “上底加下底之和乘以高，再除以 2”表示梯形面积的计算方法，用 “两个数之和与这两个数之差的乘积，等于这两个数的平方差”表示乘法中的一种规律。 但是，这样的表示不仅不简明，而且不利于数学研究的深入开展。

因此，人们逐渐开始探索使用缩写文字和一些记号来描述数学问题及其解答过程。例如，为了简明地列出方程（即含有未知数的等式），古人想了许多方法。

图 1

公元 11世纪到 12世纪，我国产生了 “天元术”,人们用 “天元式”表示方程，用 “元”表示未知数。如图1是用算筹摆出的 “天元式”，它所表示的方程其实就是 x3 ＋336x3 ＋4 184x＋2 488 320＝0。

“天元术”已有现代列方程记法的雏形，用 “元”表示未知数的方法，一直沿用至今，但这种表示方程的方法还是比较复杂。 用字母表示数，进而用含有字母的符号表示数学式子，这种方法自创立至今也不过 400多年的历史。

1591年，法国数学家韦达 （1540～1603）第一次在数学研究中系统地使用了字母表示数。 韦达曾在法国与西班牙的战争中参与密码破译工作，他由此得到启发： 密码就是约定好的一套符号，人们在数学中也可以仿照这样的做法，约定好特定的符号表示特定的意思，这样写起来就方便多了。

《分析方法入门》是韦达最重要的数学著作之一，书中引入字母来表示数，用辅音字母 B、C、D等表示已知数，用元音字母 A等（后来还用过辅音字母 N）表示未知数。韦达称有字母的运算为 “类的运算”，以区别于传统的 “数的运算”。韦达的这些做法被后世数学史家认为是正式用字母表示数的开端。

现在人们通常用字母 x、y、z等表示未知数，这源自法国数学家笛卡儿 （1596～1650）1637年在《几何学》中的做法。

3

用字母表示数是一次飞跃，它使数学语言从只能表示关于数的内容进入能表示含有字母的运算、公式变形和方程的新阶段，这为在算术基础上发展出一个新的数学分支 （代数学）奠定了基础。

代数学 （algebra），顾名思义源自于用字母表示数。 1859年，清代数学家李善兰把 algebra译成中文 “代数”。此后在清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译的《代数学》的卷首，有 “代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，这说明代数是用符号来表示数的一种数学方法。

韦达认为： 代数以一般性问题为研究对象，针对的是某种类型或形式的运算方法；算术侧重于数的运算，解决的是各种特殊问题，难以讨论一般规律。从算术发展到代数是数学前进中的重要步骤，韦达的创新之举促进了代数学的诞生，因此他被称为 “代数学之父”。

用字母表示数，为表示数学问题带来极大便利。

例如，加法交换律可以表示为 a＋b＝b＋a，加法结合律可以表示为 a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），其中的字母可以表示任意数；

梯形面积的计算方法可以表示为 ½（a＋b）h，其中的字母可以表示任意梯形的两底和高 （a、b 表示底，h 表示高）；

“两个数之和与这两个数之差的乘积，等于这两个数的平方差”这一规律，可以表示为（a＋b）（a－b）＝a2 －b2 ，其中的字母可以表示任意数。

这样的数学式子不仅简洁，而且表达得很准确。用字母表示数，使得未知数也能像已知数一样进入算式，这使方程的表示变得容易。

例如，“某个数的 5 倍加 7 等于另一个数的 7 倍加 5”，可以表示为 5x＋7＝7y＋5，虽然 “某个数”与 “另一个数”暂时还未知是几，但它们已经成为等式中的角色；

图 2

解决问题 “请设计一个上部为半圆、下部为正方形的窗户 （如图2），使它的面积为 2m 2 ”时，可以设半圆的半径为 xm，列出方程 ½ πx 2 2＋（2x）2 ＝2（其中 π 为圆周率） ，然后由它解出 x的值。

方程是代数学中的重要内容，对它的研究是代数学发展的重要动力，而方程又离不开用字母表示未知数。

4

电子计算机的发明与应用是 20世纪最伟大的成就之一，它使人类进人了信息时代。信息技术应用于人类生活的方方面面，使我们感知到它无处不在。

人们往往只看到了现象，而没有看到这些现象背后的科学基础。实际上，无论是在计算机的发明过程中，还是在它的广泛使用中，代数学都发挥了重要的基础作用，其中少不了用字母表示数。

图 3

举个简单的例子，给计算机编一个 “从 1 加 2 开始，再加 3、4、…，一直加到 100，求总和”的程序，设计的程序框图如图3所示，其中的字母 i表示从 1陆续变到 101的变量 （当 i＝1、2、3、…、100 时进行累加），字母 S表示不断增大的总和。

随着程序的运行，两个字母的值不断变化，最后 i＝100时 S＝5 050， i＝101时 S就停止增大，输出的结果为 5 050。可以看出，字母 i和 S在程序中有重要的作用。

代数学中，参与运算的对象由单纯的数扩大到可以含有字母的式子。这样的式子包括了单纯的数，这个范围更大的对象成为运算中新的主角。

代数学中最简单的式子是整式，整式中可有加、减、乘 （包括乘方）、除运算，但分母中不能有字母 （ π 等可以视为常数的字母除外） 。

整式又分为单项式和多项式。单项式中只有乘 （包括乘方）、除运算，如 ab， ⅔a， x2 ， 4xy3 ，单独的一个字母或一个数也是单项式；多项式是表示几个单项式相加减的式子，其中每个单项式叫作多项式的项，如 a＋b， x2 ＋4x－5， 2m3 n－3m2 n2 ＋4p－7分别是二项式、三项式和四项式。

整式运算是数的运算的发展，虽然它比数的运算要抽象，但是它具有一般性。

例如，（30x＋40y）＋（25x＋50y）＝55x＋90y既可以表示 “一片草地上有 30 头牛和 40 只羊，另一片草地上有 25 头牛和 50 只羊，这两片草地上共有 55 头牛和 90 只羊”，又可以表示 “一块菜地收获 30kg 黄瓜和 40kg 萝卜，另一块菜地收获 25kg 黄瓜和 50kg 萝卜，两块菜地共收获 55kg 黄瓜和 90kg 萝卜”，还可以表示其他的同类问题。

如果把这个式子中的数也换成字母，如 （ax＋by）＋（cx＋dy）＝（a＋c）x＋（b＋d）y，那就能表示不受具体数限制的更多的类似问题。

用简洁明了的含有字母的数学式子表示数量关系，便于记忆，便于运用，从用字母表示数起，多年来人们不断完善数学符号体系。今天，数学还在发展，数学语言中的符号也在不断丰富。

我国数学家华罗庚说： 数学的特点是抽象，正因如此，用符号表示就更具有优越性和广泛的应用性。用符号形式表示的数学语言是世界性的通用语言，掌握好它对于提高数学表达能力，培养抽象思维十分有益。

田载今︱人民教育出版社

原标题／用字母表示数——数学发展中的一大进步

编辑 新世纪小学数学

文章版权归原作者所有

转载只供学习，无任何商业用途

如有侵权请联系删除返回搜狐，查看更多