数论之巅

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数学中研究最多的领域之一是素数的研究。素数领域存在很多非常困难的问题，即使是最伟大的数学家也没有解决。今天，我们来看看数学中关于素数的5个最古老的问题，这些问题理解起来很容易，但却没有得到证实。

完美数（完全数、完备数）：奇数完全数是否存在？偶数 完全数是无限的吗？

看一下6、28、496、8128这些数字.....

这些数字有什么特别之处？我建议你试着寻找一个关于数字的美丽的基本性质。

如果你看一下这些数的真因数，你可能会注意到这个“美丽”的性质。

真因数之和等于数字本身的数字被称为完全数。最早的关于完全数的研究已经消失在历史潮流中。然而，我们知道毕达哥拉斯人（公元前525年）曾研究过完全数。

我们对这些数字了解多少呢？

欧几里德证明，对于一个给定的n，如果（2^n-1）是一个素数，那么

是一个完全数。

再做些铺垫。

梅森素数：梅森猜想，当n为素数时，所有形式为2^n-1的数都是素数。

开放性问题：是否有无限多的梅森素数？目前我们知道47个梅森素数。

正如你所看到的，自从欧几里德（约公元前300年）以来，我们就知道偶数完全数以及得到它们的方法。我们不知道的是，是否存在任何奇数完全数？（实际上，对奇数完全数的研究很少，在这个问题上几乎没有任何进展。

总而言之，完全数的研究提出了两个长期未解决的问题，即 "奇数完全数的存在 "和 "无限多梅森素数的存在"。

孪生素数猜想：有无限多的孪生素数

孪生素数猜想的确切来源没有得到证实，孪生素数猜想的第一个陈述是由法国数学家Alphonse de Polignac在1846年给出的。然而，希腊数学家欧几里德给出了已知的最古老的证明，即存在无限多的素数，他猜想存在无限多的孪生素数。

2000多年了，这个问题的证明几乎没有进展。

我们对孪生素数掌握了哪些？

最伟大的在世数学家陶哲轩正在积极研究这个问题。

哪些正多边形是可构成的？

正多边形是可构成的是指可以用圆规和直尺构成。例如，正五边形可以用圆规和直尺构成，而正七边形则不能。

古希腊人知道如何构成边数为n=3,4,5的正多边形，他们也知道如何构成边数为给定正多边形两倍的正多边形。

所以它们可以构成正多边形，其中边数为n={6,12,24...4,8,16... 5,10,20...}，以此类推。

自然要问的问题是，什么样的n值是可构成的？

从希腊人第一次研究这个问题到1796年一个19岁的少年构成了一个正17边形，这个问题的真正进展花了近2000年。这个孩子不是别人，正是卡尔-弗里德里希-高斯。几年后，高斯想出了这个问题的答案。

我们所知道的可构成的正多边形：

高斯研究指出，当且仅当n是2的幂和任何费马素数的乘积时，就可以用圆规和直尺构成一个规则的正多边形。

费马素数的形式是：

因此，寻找所有可构成的多边形的问题可简化为寻找所有费马素数。这是一个独立的开放性问题。

最前面的几个费马数（不是费马素数）是3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297........截至2021年，已知的费马素数只有F0=3、F1=5、F2=17、F3=257和F4=65537。

费马猜想，所有的费马数都是素数。1732年，欧拉发现F5（4294967297）不是素数，它有因数641。从那时起，我们已经证明，n=5,6...31的费马数是合数。在F4之后没有已知的费马素数。

当我们能够找到关于费马素数存在性的答案的那一天，我们就会得到所有可构成的正多边形。

哥德巴赫猜想。(1742)

哥德巴赫弱猜想：

这个猜想被称为 "弱猜想"，因为如果强猜想被证明，那么这个猜想也会是真的。不幸的是，自欧拉以来，经过几代数学家的努力，我们也没能证明这两个猜想。

注：2013年，哈拉尔德-赫夫考特（ Harald Helfgott ）发表了哥德巴赫弱猜想的证明。截至2018年，该证明在数学界被广泛接受，但还没有在同行评议的期刊上发表。

我们所知道的哥德巴赫猜想